Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство проведем лишь при весьма строгих предположениях
относительно спектральной плотности, считая, что
0<с^/(7.)<С<оо. (22)
452 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Из условия 2) в (18) следует, что для любого пф О
S [1-ф(Я)]е^/М<*Я = 0. (23)
-Я
В силу предположения (22) функция [1-ф(Я)]/(Я) принадлежит гильбертову
пространству Ь2([ - я, я], <?В[ - п, я], р) с мерой
( е^п
Лебега р. В этом пространстве система функций | у~-'9 п -
± 1, ...| образует ортонормированный базис (задача 7 § 11 гл.
II). Поэтому из (23) следует, что функция [1-ф(Я)]/(Я) есть константа,
которую обозначим а.
Итак, второе условие в (18) приводит к тому, что
Ф(А) = 1~Т^. (24)
Исходя из первого условия в (18), определим теперь константу а. В силу
(22) фе!2 и условие феЯ°(F) равносильно условию, что ф принадлежит
замкнутому (в смысле нормы в L2) линейному многообразию,
порожденному функциями еап, пфО. Отсюда
ясно, что нулевой коэффициент в разложении функции ф (Я)
дол-
жен быть равен нулю. Поэтому
Я Я
О = ^ ф (Я) dk = 2я - а ^
-Я -Я
и, значит, константа а определяется формулой (21).
Наконец,
62 = mUo- 1о!2= ] |1-Ф(Я)|2/(ямя=
-л
я
2 (к) Я
Г
' / (Я)"
-я
Теорема (при дополнительном предположении (22)) доказана. Следствие. Если
Ф М = Л c"eiKk,
0<|АКЛГ
ТО
1= Ц J e^Z (dl) = ?
0<|t|<iV -Я 0<|Aj<M
§ 6. ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ФИЛЬТРАЦИЯ 453
Пр и мер 3. Пусть f (К) - спектральная плотность из рассмотренного выше
примера 2. Тогда нетрудно подсчитать, что
I." S +5-,],
-Л
а ошибка интерполяции равна
дз _ 1 - !а12 "1+|а|"-
3. Фильтрация. Пусть (0, ?) = ((0"), (Ы)> "^2,-частично наблюдаемая
последовательность, где 0 = (0Я) - ненаблюдаемая, а | - (?ч) -
наблюдаемая компонента. Каждая из последовательностей 0 и I будет
предполагаться стационарной (в широком смысле) с нулевыми средними и
спектральными представлениями
0Я = \ e^Ze(d%), Ъп= I e^Z.idk)
-Я -Л
соответственно. Обозначим
Fq (А) = М ] Z9 (А) р, Fl (А) = М1 Zx (А) р
и
Ke|(A) = MZ0(A)Z,(A).
Кроме того, будем считать также, что 0 и i стационарно связаны, т. е. их
функция ковариации cov (0", ?т) = M0"cU зависит лишь от разности п - т.
Обозначим RaX (п) = Шп10', тогда
%(") = $ eiKnFei(dX).
- ТС
Рассматриваемая задача фильтрации состоит в построении оптимальной (в
среднеквадратическом смысле) линейной оценки 0" величины 0" по тем или
иным наблюдениям последовательности
Совсем просто эта задача решается в предположении, что оценка 0" строится
по всем значениям \т, meZ. Действительно, поскольку 0Л = 1Й (0д j Н (I)),
то найдется такая функция cp"(Z), что
0"= J Фn(X)Zi(dl). (25;
454 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Как и в пп. 1 и 2, условия, которым должна удовлетворять "оптимальная"
функция фп(Х), состоят в том, что:
1) фл (X) е Н (Е6),
2) в" -вя± Н &).
Из последнего условия находим, что для любого шё2
j е1Цп~п,)рч J е-ц.шфл (^ (^ = о. (26)
-Л -Л
Поэтому, если предположить, что функции Fg^(X) и Т\(Х) имеют плотности
/е6 (А.) и Д(Х), то из (26) получим
f е^т) {к) _ е-ш,фл (Я) /б (А,)] dX = 0.
-Л
Если /6(Х)> 0 (почти всюду по мере Лебега), то отсюда сразу находим, что
ф"(Х)=егЯлф(Х), (27)
где
Ф(Х)=/06(Х)./(c)(Х)
и /(c) (X) - "псевдообращение" (А,), т. е.
г(r) (П = / ^ h W >
^() 10, /Е(Х) = 0.
При этом ошибка фильтрации
М | 0" - бл |2 = J [/0 (X) - /е26 (A.) f (A,)] dX. (28)
- Л
Как нетрудно проверить, <pn<=H(Fz) и, следовательно, оценка
(25) с функцией (27) является оптимальной.
Пример 4. Выделение сигнала из смеси с шумом. Пусть
?л = 6л + г1л, где сигнал 0 = (0") и шум т) = OW являются
некор-
релированными последовательностями со спектральными плотностями /а(Х) и
/^(Х). Тогда
е"= $е*"ф(Х)2ь(<*Х),
-Л
где
Ф(Х)=/е(Х)[/е(Х) + МХ)](c), а ошибка фильтрации
М / е" - е" J2 = J [/е (X) /" (X)] [/е (X) +/" (X)](r) dX.
§ 6. ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ и ФИЛЬТРАЦИЯ 455
Полученное решение (25) можно теперь использовать для построения
оптимальной оценки 0л+т величины 0л+т по результатам наблюдений k^n, где
т - некоторое заданное число из Z' Предположим, что последовательность
?=(?".) регулярна со спектральной плотностью
/(А)= А-|Ф(<г*) р,
СО
где Ф(г)= 2] akZk. Согласно разложению Вольда
со
in ~ &k?n-kl
k=o
где е = (еА) - белый шум со спектральным разложением
ел= I e*"Ze(dX).
-Я
Поскольку
= м [<W I Н" (?)] = М [м [0л+т I я (?)] 1 Я" (s)] = М [0л+т | Нп (1)1
и
ёл,т = J ф (Л)Ф (e-Л) Ze (dA) = 2 й"+"-л8й,
-я
где
^Л==Л_ J (Л) (D (^) dA, (29)
-Я
то
" М Г Qn-Vm-k^k | Нп (^)l*
\_k^n+m J
Но Я"й)*=Ял(е), и, значит,
и
г^я -я и<я J
я
^п+т -
k ?
-Я
2] d,^" (r)9(rA)Zt((ft),
L/==0
где Ф(c) -псевдообращение Ф.
Итак, доказана следующая
Теорема 3. Если наблюдаемая последовательность ? = (?") является
регулярной, то__ оптимальная (в среднеквадратическом смысле) линейная
оценка 0"+т величины 0л+," по |А, k^n, задается
45(5 гл. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
формулой
л
(30)
где
СО
Я"<"-'А) = 1] й1+те-*1Ф(r)(е-^)
