Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
|г| = 1}, то найдется такой белый шум е = (е"), что (Р-п. н.)
^л "Н ^1?л-1 "I" • • • "f" ~ Uq&п -|- а^Вп-1 | * . - | dpEn-pt
(33)
Обратно, есякэя стационарная последовательность ? - (?"), удовлетворяющая
такому уравнению с некоторым белым шумом е = (е") и полиномом Q(z), не
имеющим нулей на множестве
{z: | z | = 1}, имеет спектральную плотность (32).
Действительно, пусть цп = 1п + + ... + bq\n-r Тогда
/п (М = | Р (e~lk) |2 и требуемое представление
вытекает из след-
ствия 1.
С другой стороны, если имеет место представление (33) и Fi(X) и Р,, (А.)
- спектральные функции последовательностей ? и ц, то X X
Fn(X)= J |Q(e-'v)|Mft(v) = -^- J |P(e--)|Mv.
- rt
Поскольку | Q (e-'v) j2. >• 0, то отсюда следует, что (X) имеет
плотность, определяемую формулой (32).
4. Следующая эргодическая теорема (в среднеквадратическом смысле)
может рассматриваться как аналог закона больших чисел для стационарных (в
широком смысле) случайных последовательностей.
Теорема 4. Пусть ? = (?"), neZ,-стационарная последовательность с М?" =
0, ковариационной функцией (1) и спектральном разложением (2). Тогда
П- 1
-Г 2 5,
л=о
п- 1
-Z({ 0)} (34)
-i-2 Ж*)-^({°}). (35)
k^Q
Доказательство. В силу (2)
л-1 я л-1 я
т 1 Н 2 ^z(^) = $ <Pn(X)Z(X),
к-0 -я *=0
428
ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
где
л - I
( 1, ^ = 0,
флМ = --^ е'а==| 1 й,пХ-1
4 = 0
П eik _ 1
X 0.
2 зх
Поскольку | sin X! ^ - | X | для |А,|<:-2-, то
I фл М I
. пХ
s,n-r
пХ
пХ
2
л
~2'
Далее, ф" (Я.) -^/{0) (Я.), поэтому по свойству (2.14) I Фn(X)Z(dX)^ \ 1
{0> (Я.) Z (dX) - Z ({0}),
(35)
что и доказывает (34).
Аналогичным образом доказывается и утверждение (35). Теорема доказана.
Следствие. Е?ли спектральная функция непрерывна в нуле, т. е. А({0)}=0,
то Z({0}) = 0 (Р-п. н.) и в силу (34), (35)
П- 1
П- I
4 = 0
4 = 0
Поскольку
л-1
п - 1
= м Е,
4=0 ' 4=0 /
то верна и обратная импликация:
П- 1
6=0
п - 1
6=0 б=о
п- 1
Таким образом, условие i ^ Д(й)->0 является необходимым
4=0
и достаточным для сходимости (в среднеквадратическом смысле)
л-1
средних арифметических ^ к нулю.
4=0
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 429
Отсюда следует, что если исходная последовательность g = (g") такова, что
ее математическое ожидание есть т (Mg0 = "T), то
п-1 п-1
12 я(*)-о<=>12! (37)
k=Q k=Q
где R(n) = М (g" - Mg") (g0 - Mg0).
Отметим также, что если Z ({0})=^0 (Р-п. н.), а т = 0, то это означает,
что последовательность g" содержит "случайную константу а":
\п - (r) Н~ Т]л,
Л
где а = Z ({0}), а в спектральном представлении цп- $ е,ыгп (dX)
- Л
мера Zr) = Z1)(А) уже такова, что ZT)({0}) = 0 (Р-п. н.). Утверждение
(34) означает, что средние арифметические сходятся в среднеквадратическом
смысле именно к этой случайной константе а.
5. Задачи.
1. Показать, что Ll(F) = L2(F) (обозначения см. в доказательстве теоремы
1).
2. Пусть g = (g") - стационарная последовательность, обладающая тем
свойством, что для некоторого N и всех п \nvN = \n-Показать, что
спектральное представление такой последовательности сводится к
представлению (1.13).
3. Пусть g = (g") - стационарная последовательность такая, что Mgn = 0 и
0/^=0 | А К /V - 1
при некоторых С>0, а>0. Используя лемму Бореля -Кан-телли показать, что
тогда
N
2 (Р'п- н-)-
А=0
4. Пусть спектральная плотность Д (X) последовательности g = (g")
является рациональной
t М) 1 I Рп-! (е_лН /по,
<Э8>
где Pn-1(z) = a0 + a1z + ... + an-1zn-1 и Q" (г) = 1 +ftjz + ... + bnzn,
причем все корни полинома лежат вне единичного круга.
Показать, что найдется такой белый шум e = (em), hi е 2, что
последовательность (gm) будет компонентой "-мерной последова-
430
ГЛ. VI СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
дельности (gm, lit, lnm), = удовлетворяющей
уравнений
Em + 1 = Em"1 + Piem+1> t=l> •••> И- 1,
&+! = - s fr"-y^+I + P"effl+i,
/-0
i-i
ГД6 Pi = <3!o) Pi = 1
k=l
§ 4. Статистическое оценивание ковариационной функции и спектральной
плотности
1. Задачи статистического оценивания тех или иных характеристик
распределений вероятностей стационарных случайных последовательностей
возникают в самых разнообразных областях науки (геофизика, медицина,
экономика и др.). Материал, излагаемый в настоящем параграфе, дает
представление о понятиях и методах оценивания и о тех трудностях, которые
здесь возникают.
Итак, пусть ? = (?"), neZ, стационарная в широком смысле (действительная
- для простоты) случайная последовательность с математическим ожиданием
Щ,п = т и ковариацией R(n) -
Л
_ ^ eilnF {(1К).
- Л
Пусть х0, хъ ..., xN_! - полученные в ходе наблюдений значения случайных
величин ?"> ?1 In-i- Как по ним построить
"хорошую" оценку (неизвестного) среднего значения т?
Положим
iV-I
mN (х) = y >2 х". (1)
А=0
Тогда из элементарных свойств математического ожидания следует, что эта
оценка является "хорошей" оценкой величины т в том смысле, что "в среднем
по всем реализациям х0, , хц-\"
она является несмещенной, т. е
