Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
М|Ы0; Ю-/(0) |г = 4^2М|т12-112>0.
Более того, несложный подсчет показывает, что если / (Я) - спектральная
плотность стационарной последовательности ? = (?"), образованной по схеме
скользящего среднего:
(I5)
k=Q
00 СО
с 2 1а*1<°°> Ti J)2 < °°" где е = (е")-белый шум с MeJ<
ft = 0 ft = О
< ОО, то
г Ml? л и f 2/2 (°), Я = 0, ±я,
ИтМ|Ы*; |)-№)Г = | /1(Ч> ^ ±я- (16)
§ 4. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
435
Отсюда становится понятным, что периодограмма не может служить
удовлетворительной оценкой спектральной плотности. Чтобы исправить это
положение, в качестве оценок для /(Я) часто используют оценки вида
/лГ(Я; х) = $ WN(k - v)fN (v; x)dv,
(17)
которые строятся по периодограмме fN (Я; х) и некоторым "сглаживающим"
функциям WN(k), называемым спектральными окнами. Естественные требования,
предъявляемые к функциям ^^(Я), состоят в том, чтобы:
a) WN(k) имели резко выраженный максимум в окрестности точки Я = 0;
b) lwN(X)dk= 1;
- Л
c) М|/Т(Я; ?)-/(Я)|2->0, N-+ оэ, Яе[-я, я).
В силу (14) и требования Ь) оценки f(Я; ?) являются асимптотически
несмещенными. Требование с) является условием асимптотической
состоятельности в среднеквадратическом смысле, что, как было показано
выше, нарушается для периодограммы. Наконец, требование а) обеспечивает
"вырезание" из периодограммы требуемой частоты Я.
Приведем некоторые примеры оценок вида (17).
Оценка Бартлета основана на выборе спектрального окна
W м (Я) = aNB (адгЯ), где aN | оо, aN/N -> 0, N -> оо и
В (Я):
2 п
sm ¦
Я/2
Оценка Парзена использует в качестве спектрального окна функцию
Wn (Я) == aNP (aNk),
где aN такие же, что и выше, а
sin
4
Я/4
Оценки Журбенко строятся с помощью спектральных окон вида
Wn W = aN% (аиЦ
436 гл. VI СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ С
С а + I ! 1 la i a + l
Z(k) = \
{ О, |Я[> 1,
где 0<asg2, а величины aN подбираются специальным образом-Не
останавливаясь подробнее на вопросах оценивания спектральных плотностей,
укажем лишь, что имеется обширная статистическая литература, посвйщенная
построению спектральных окон
А W
и сравнению свойств соответствующих им оценок fN (1; х).
3. Рассмотрим теперь вопрос оценивания спектральной функции F (А,) = р
([-л, А])я. С этой целью положим
Fn(^) = S fiv(v)dv, FN(k\ х)= ^ Mv; x)dv,
- Л - Л
где /a^(v; х) - периодограмма, построенная по (дг0, хг, ... , xN_x).
Из доказательства теоремы Герглотца (§ 1) следует, что для любого яе2
Л Л
J e'ln dFN (к) -*¦ J е'кп dF (/.).
- Л - Л
Отсюда (ср. со следствием к теореме 1 § 3 гл, III) следует, что Fn=>F, т.
е. FN{k) сходятся к F (к) в каждой точке непрерывности функции F (Я).
Заметим, что для всех | п | < N
Л
^e^dFN(k; \) = RN(n-,
- Л
Поэтому, если предположить, что RN (ti; g) сходятся с вероктно-стью
единица к R (п) при N -> со, то тогда
Л Л
^ e,lndFN(k\ g)-"- ^ e'kndF(k) (Р-п. н.)
- Л - Л
и, значит, (Р-п. н.) FN(k-, g)=>F(A).
Отсюда нетрудно вывести (переходя в случае необходимости от
пдсдедовцтельностей к подпоследовательностям), что если Rn(h\ 1)->-Я(я)
по вероятности, то тогда и FN (Я; l)=>F(k) по вероятности.
4. Задачи.
1..Пусть в схеме (1,5) величины е"~(r)<Г(0, 1). Показать, что для любого п
и N -*¦ оо
Я
(N - п) DRn (я; g) -* 2л $ (1 + е2:пк) /2 (к) dk.
- Я
§ 5 РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЛЬДА
437
2. Установить справедливость формулы (16) и следующего ее обобщения
I 2Z2 (0), ^ = v = 0, ±я,
lim cov (Ду (Я; |), ?at(v; |)) = | /3 (Я), К = \ф0, ±я,
( 0, %ф±у.
§ Б. Разложение Воль да
1. В отличие от представления (3 2) дающего разложение стационарной
последовательности в частотной области, рассматриваемое ниже разложение
Вольда действует во временной области.
Суть этого разложения сводится к тому, что стационарная после-
довательность | = (?"), n е Z, представляется в виде суммы двух
стационарных последовательностей, одна из которых полностью предсказуема
(в том смысле, что ее значения полностью восстанавливаются по
"прошлому"), а вторая этим свойством не обладает.
Введем прежде всего некоторые обозначения. Пусть Нп (?) = = U(l,n) и Н
(?) = L2(?) - замкнутые линейные многообразия, порожденные величинами 1п
= (... , l"-lt \п) и ? = (... ln-lt ...) соответственно. Пусть также
S(l) = f]Hn(l).
п
Очевидно, что
Нп(1)\ НЦ), п >-оо
и
я-"- оо.
Для любого элемента л е Н (?) обозначим через
пп (г)) = М(г)| Н" (%))
проекцию элемента г) на подпространство Н"(1) (см. § 11 гл. II). Будем
обозначать также
я-оо (т)) = М (n |S(?)).
Каждый элемент г] е Я (?) можно представить следующим образом:
Л = Я-оо (Г1) + (л - Я-оо (л)),
А А
где л - л_оо(л) _L я_оо(л). Поэтому пространство #(?) представляется в
виде ортогональной суммы
438 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
где 5 (|) состоит из элементов я_оо (т)) с г] е Я (|), a R (I) - из
элементов вида г] - Я-оо (т)).
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что М|л = 0 и D?";> >0. Тем самым
пространство Я (|) заведомо является нетривиальным (содержит элементы,
отличные от нулевого).
Определение 1. Стационарная последовательность ? = (?") называется
