Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Стилтьеса, под стохастическим интегралом J f (к) dZ),,
R
418 ГЛ. VI СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
где {Zi} - некоторый процесс с ортогональными приращениями, понимается
стохастический интеграл § f(X)Z(dk) по соответствую-
R
щей этому процессу ортогональной стохастической мере.
6. Задачи.
1. Доказать эквивалентность условий (5) и (6).
2. Пусть функция / е L2. Используя результаты гл. 11 (теорема 1 в § 4,
следствие к теореме 3 § 6 и задачу 9 в § 3), доказать, что найдется
последовательность функций/" вида (10) таких, что II/- /"!->¦ 0, п-> со.
3. Установить справедливость следующих свойств ортогональной
стохастической меры Z (А) со структурной функцией т (А)"
МI Z (А2) - Z (Д2) J2 = т (Л2 а Аг),
Z(A1\A2) = Z(A1)-Z(A1nA2) (Р-п. п.),
Z(A1AA2) = Z(A1) + Z(A2)-2Z(A1nA2) (Р-п. н.).
§ 3. Спектральное представление стационарных (в широком смысле)
последовательностей
1. Если \ = (\п) -стационарная последовательность с М?" = 0, ne Z, то,
согласно теореме из §1, найдется такая конечная мера F = F(А) на ([-я,
я), "$?([-я, я))), что ковариационная функция R (ti) = cov (lk+n, Ы
допускает спектральное представление
Л
R (п) = $ ev'-nF (dA). (1)
- Л
Следующий результат дает соответствующее спектральное представление самой
последовательности \ = (?"), neZ.
Теорема 1. Существует такая ортогональная стохастическая мера Z = Z(А),
Де<Д?([-я, я)), что для каждого п<= Z (Р-п. н.)
?"= I e?**Z(dk). (2)
- Л
При этом М | Z (А) |а = Т7 (А).
Доказательство проще всего провести, опираясь на некоторые факты теории
гильбертовых пространств.
Пусть L2{F) = U(E, Ш, F) - гильбертово пространство комплекснозначных
функций, Е - [-я, я), ? = "$?([-я, я)), со скалярным произведением
</, g)= ? f(l)g(k)F(dl), (3)
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 419
и Ц (F) - линейное многообразие (Ц (F) = L2 (F)), порожденное функциями
еп = еп(%), neZ, где еп(Х) = ёХп.
Заметим, что поскольку Е = [- jt, л) и мера F конечна, то
замыкание Ll(F) совпадает (задача 1) с L2 (F):
Ll(F) = L2(F).
Пусть, далее, L\ (?) - линейное многообразие, порожденное случайными
величинами ?", "gZ, и Zi(?)-его замыкание в сред-
неквадратическом смысле (по мере Р).
Установим между элементами LI (F) и Ц (|) взаимнооднозначное соответствие
"<->¦", полагая
еп ** ?л> о е Z, (4)
и доопределяя для произвольных элементов (точнее - классов эквивалентных
элементов) по линейности:
2 а*ел ^ (5)
(здесь предполагается, что только конечное число комплексных чисел ап
отлично от нуля).
Отметим, что соответствие (5) корректно определено в том смысле, что
%апеп = 0 почти всюду по мере F тогда и только
тогда, когда ?ал?л = 0 (Р-п. н.).
Так определенное соответствие "<->¦" является изометрическим, т. е.
сохраняющим скалярные произведения. В самом деле, в силу (3)
П
<ел, ет) = $ en{k)em(K)F (dl) =
- П
= J ёЧп-т)Р{сЩ = Я(П-т) = Mg"L = (L, U
- Я
и аналогично
<2 "/А, 2P,A> = (2an?n, 2РЛ?Л)- (6)
Пусть теперь t]eL2(?). Поскольку L2(g) = Lо(?), то найдется такая
последовательность {г]"}, что ri"eLo(?) и |т)л - т) || О, п-гсо.
Следовательно, последовательность {г|л} фундаментальна и, значит, таковой
же является и последовательность функций {/"}, где fn^Ll(F) и /"<-"• т)л.
Пространство L2(F) полно и, следовательно, найдется такая функция
f^L2(F), что ||/л -
Очевидным образом верно и обратное: если f^L2(F) и ||/ - /"(-"-->0, fn е
Ц (F), то найдется такой элемент т|eZ,a (?), что ||т) -
->0, t]"eL3(i) и г\n*+fn.
До сих пор (изометрическое) соответствие "<-*•" было определено лишь
между элементами из Ц (?) и Ц (F), Доопределим его
420 ГЛ VI СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
по непрерывности, полагая f ** т), где / и ц - рассмотренные выше
элементы Нетрудно проверить, что так установленное соответствие является
взаимнооднозначным (между классами эквивалентных случайных величин и
функций), линейным и сохраняющим скалярное произведение
Рассмотрим функцию /(А,) = /д (А,), где Дей([-я, я)), и пусть Z(A) -
элемент из L2 (Q такой, что /д (к) <->¦ Z (Д). Ясно, что I /д (К) f = F
(Д) и, значит, М | Z (Д) |2 = F (Д). Далее, если Д, f)
ПАг=0, то MZ (Дх) Z (Д2) = 0 и М
Z(A)- ZZ(Ak)
*=i
¦ 0, п ¦
оо, где Д = 2
I
Тем самым совокупность элементов Z(Д), ДеЛ([-я, л)), образует
ортогональную стохастическую меру, по которой (согласно § 2) можно
определить стохастический интеграл
^(/)= I f(k)Z(dk), f^L2(F).
- Л
Пусть f^L2(F) и Обозначим элемент т) через Ф If)
(точнее говоря, выберем по одному представителю из соответствующих
классов эквивалентных случайных величин и функции). Покажем, что (Р-п.
н.)
^(/) = Ф </). (7>
Действительно, если
f(k)^='LakUk(X) (8)
есть конечная линейная комбинация функций 1ьк(к), Ak = (ak, bk\, то по
самому определению стохастического интеграла (/) - = 2afeZ(A,fe), что,
очевидно, равно Ф{/). Таким образом, (7) справедливо для функций вида
(8). Но если f<=L2(F) и ||/л - ,
где /" - функции вида (8), то|Ф(/л) - Ф (/) }->-0 и\<&(fn) - (/)|->- 0
