Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(31)
и коэффициенты ak определяются в (29).
4. Задачи.
1. Пусть ? - невырожденная регулярная последовательность со спектральной
плотностью (4). Показать, что Ф (г) не имеет нулей при | г j < 1.
2. Доказать, что утверждение теоремы 1 сохраняет свою силу и без
предположений, что Ф(г) имеет радиус сходимости г> 1, а нули Ф (г) лежат
только в области | г | > 1.
3. Показать, что для регулярного процесса функция Ф (г), входящая в (4),
может быть представлена в виде
Вывести отсюда и из (5.9), что ошибка прогноза на один шаг
4. Дать доказательство теоремы 2 без предположения (22).
5. Пусть некоррелированные сигнал 0 и шум т] имеют спектральные плотности
Опираясь на теорему 3, найти оценку 6л+т величины 6"+т по значениям ?*,
k^n, где ?* = 0* + щ- Рассмотреть ту же задачу для спектральных
плотностей
где
Я
af = М j li - gi |2 задается формулой Сеге - Колмогорова
§ 7. ФИЛЬТР КАЛМАНА-'БЬЮСИ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ
457
§ 7. Фильтр Калмана - Бьюси и его обобщения
1. С вычислительной точки зрения данное выше решение задачи фильтрации
ненаблюдаемой компоненты б по наблюдениям Е не является удобным,
поскольку, будучи выраженным в спектральных терминах, оно для своей
реализации требует обращения к аналоговым устройствам. В схеме,
предложенной Калманом и Е;ьюси, синтезирование оптимального фильтра
осуществляется рекуррентным способом, что дает возможность реализации с
помощью цифровых вычислительных устройств. Есть и другие причины,
обусловившие широкое применение фильтра Калмана - Бьюси. Одна из них
состоит в том, что он "работает" и без предположения стационарности
последовательностей (G, В).
Ниже будет рассматриваться не только традиционная схема Калмана - Бьюси,
но также и ее обобщения, состоящие в том, что в рекуррентных уравнениях,
определяющих (0, ?), коэффициенты могут зависеть от всех прошлых
наблюдаемых данных.
Итак, будем предполагать, что (б, Е) = ((б"), (?")) есть частично
наблюдаемая последовательность, причем
9* = (Si ("), • • •, 0а (л)), In = (Si (п) h (п))
управляются рекуррентными уравнениями 0"+i = flo(/7, E) + Oi(h, В) ех
(п -f- 1) +
+ Ь2(", ?)ва(я+1), /П Л (я, Q + A-!(п, Е) б" + (я, ?) еДп-Ь l)-l-
+Д^(я, I) е2(п+1).
Здесь ех (п) = (еи (п), elk (п)), е2 (п) = (е21 (л), ..., еа, (л))
- неза-
висимые гауссовские векторы с независимыми компонентами, каждая из
которых имеет нормальное распределение с параметрами О и 1; а0(п, Е) =
(ап (л Л), ..., аок (л, ?)) и А0 (л, |) = (А01 (л, |), ... ..., Ао1 (л,
5)) - вектор-функции, где зависимость от | = (?0, ...)
входит неупреждающим образом, т. е. для фиксированного п
аП1 (л, Е), ..., АС1 (л, Е) зависят лишь от Н0 ?"', матричные
функции
М"> DHI^y (л, Ш, ь2(п, В) = || bif (л, 1)1,
В, (л, В) = IЩ (л, I) S, В, (л, В) = S В$ (л, I) II,
(Я, S) = II я}}1 (л, I) II, Ах (я, Е) = II А1# (л, 1) J
имеют порядок kxk, kxl, Ixk, Ixl, kxk, Ix k, соответственно, и также
неупреждающим образом зависят от В- Предполагаете я также, что вектор
начальных данных (60, Во) не зависит от последовательностей 8]=(е1(л)) и
е2 = (е2(л)).
Для простоты изложения указание на зависимость коэффициентов от Е в
дальнейшем часто будет опускаться.
458 гл. VI СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Чтобы система (1) имела решение с конечным вторым моментом,
/ к
будем предполагать, что М (J 0о f -f1; g0|2) < оэ | at|2 = ^]
V 1 = 1
д = (хг, ..., xk)^, j а\у (п, у j ==? С, J A'tj (п, I) | < С, и если g
(п, ?) -
любая из функций яо;, Лоу, b\)\ b'ff, В))', B'ff, то М1^(п, g)|2<oo, "=
0, 1,... В этих допущениях последовательность (9, |) такова , что и М
(||0"||2 +11п||2) < оо, 0.
Пусть, далее, eF| = a{co: g0, ?"} - наименьшая о-алгебра,
порожденная величинами ?0, ..., и
тп = М (0" j ул = М [(9" - тп) (0" - тп)* \
Соглгхно теореме 1 § 8 гл. II тп = (т1{п), ..., mk(n)) является
оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой вектора 6л = (01 (П),
.. •, 6/; (")), а Мул = М [(0Л - тп) (0" - т")*] есть матрица ошибок
оценивания. Отыскание этих величин для произвольных последовательностей
(9, ?), управляемых уравнениями (I), является весьма трудной задачей.
Однако при одном дополнительном предположении относительно (0О, ?0)>
состоящем в том, что условное распределение Р(0о^а|?о) является
гауссовским,
, 2 _ (х - т")г
S Г
- СО
с параметрами т0 - m0(?o)> Yo - То (So)" Для тп и уч можно вывести
систему рекуррентных уравнений, включающих в себя и так называемые
уравнения фильтра Калмана - Бьюси. -
Прежде всего установим один важный вспомогательный результат.
Лемма 1. При сделанных выше предположениях относительно коэффициентов
системы (1) и условии (2) последовательность (9, Е) является условно-
гауссовской, т. е. условная функция распределения
Р {0о ^о> • • ¦ > ^ ап | <У\}
есть (Р-п. н.) функция распределения п-мерного гауссовского вектора,
среднее значение и матрица ковариаций которого зависят от (g0, ..., In).
Доказательство. Ограничимся доказательством гауссо-вости лишь
распределения Р (д" а ] eF|), что достаточно для вывода уравнений для т"
