Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(&ф, ^ &)) = </> g)
и
§ 2 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕРЫ
415
Пусть теперь /gL2 и {/"}- функции типа (10) такие, что U - fnИ -О, л-"-
оо (существование таких функций следует из задачи 1). Поэтому
\& tin)-# = п, со.
Следовательно, последовательность {<& (/")} фундаментальна в
среднеквадратическом смысле, и в силу теоремы 7 из § 10 гл. II найдется
случайная величина (обозначим ее eZ (/)) такая, что ^(/)еЯ2 И II ifn) - ^
(/) II -*¦ 0, ОО.
Так построенная случайная величина s?' (/) определяется однозначно (с
точностью до стохастической эквивалентности) и не зависит от выбора
аппроксимирующей последовательности {/"}. Назовем ее стохастическим
интегралом от функции (gL2 по элементарной ортогональной стохастической
мере Z и будем записывать
Е
Отметим следующие основные свойства стохастического интеграла <?? (/),
непосредственно вытекающие из его конструкции (задача 1). Пусть функции
g, /, /,gL!. Тогда
(^(/). = 8)', (И)
\&№ II=11/1; (12)
&(af + bg) = a#(f) + b&<g) (Р-п.н.), (13)
где а и b - константы;
II (fn) - (/) I ->¦ о, (14)
если ||/" - /!->¦ 0, п -*- оо.
4. Используем определенный выше стохастический интеграл для
продолжения элементарной ортогональной стохастической меры Z(A), 4е10, на
множества из Ш = о(Ш0).
Поскольку мера т предполагается конечной, то функция 7д = 1а (Я.) е L2
для всякого Ael. Обозначим Z (А) = <?? (/д). Ясно, что для Ael, Z (А) = Z
(А). Из (13) следует, что если Ах П А2 = 0, Ах, А2 е Ш, то
Z(A1 + A2) = Z(A1) + Z(A2) (Р-п.н.), а из (12) вытекает, что
M|Z(A)|a = m(A), Де^.
Покажем, что случайная функция множеств Z (A), AgI, является счетно-
аддитивной в среднеквадратическом смысле.
416 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАПНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В самом деле, пусть и Д= J 4*. Тогда
k = \
Z(A)~ Z(Ak) = S(gn),
k=\
П
где g" (Я) =/д (Я) - 2 /дй(Я) = / со (Я).
*=i 2:
ft = rt4-l
Но
/ 00 \
M|s7(g")!2 = |g"||2 = m( ^ Д*Ц0, n-v оо,
?=л + ! '
п
Т. е. M|Z(A) - ^ ^ (А*)!2->-0, я-"-сю.
ft =1
Из (11) следует также, что для Д,ПД2 = Ф> Ах, А
MZ(A1)2(Aa) = 0.
Итак, построенная случайная функция Z (А), определенная на множествах
Де1, является счетно-аддитивной в среднеквадратическом смысле и на
множествах Де1л совпадает с Z(А). Будем называть Z(A), А е ?,
ортогональной стохастической мерой (являющейся продолжением элементарной
ортогональной стохастической меры Z(A)) со структурной функцией т(А),
Де1, а определенный выше интеграл S (/) = $/(Я) Z (dZ) - стохастиче-
Е
ским интегралом по этой мере.
5. Обратимся теперь к наиболее важному для наших целей случаю (Е, Ж) =
(R, S3 (R)). Как известно (§ 3 гл. II), всякая конечная мера т = т(А) на
(R, S3 (R)) находится во взаимнооднозначном соответствии с некоторой
(обобщенной) функцией распределения G = G(x), причем т(а, b] - G (b) - G
(а).
Оказывается, нечто подобное справедливо и для ортогональных
стохастических мер. Введем
Определение 4. Совокупность (комплекснозначных) случайных величин {Zx}, Я
ей, заданных на (Q, ef, Р), назовем случайным процессом с ортогональными
приращениями, если
1) М | Z*. Р < оо, lei?;
2) для каждого lei?
M[Zx - |9 -+• 0, %" \ Я, Хп е R\
3) для любых Я1<Я2<Я3<Я4
М (ZXt - ZU (ZXt - ZXJ = 0.
§ 2 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕРЫ
417
Условие (3) является условием ортогональности приращений. Условие 1)
означает, что ZK^H2. Наконец, условие 2) носит технический характер и
является требованием непрерывности справа (в средчеквадратическом смысле)
в каждой точке Хе/?.
Пусть Z = Z (А) - ортогональная стохастическая мера со структурной
функцией т - т(А), являющейся конечной мерой с (обобщенной) функцией
распределения G (к). Положим
Z" = Z(- оо, X].
Тогда М I Zx 12 = т (-оо, X] = G(A)<oо, М |ZK - Z\n j2 = m(kn, X] } О, к,
| к, и, очевидно, выполнено также условие 3). Таким образом, пгстроенный
процесс {Z?J является процессом с ортогональными приращениями.
С другой стороны, если {Z^}-такой процессе М [ ZK |2 = G (к), G (- оо) =
0, G(+oo)<co, то положим для Д = (п, 6]
Z (Д) = Z (b) - Z (а).
п п
Пусть §0 - алгебра множеств Д = 2 (а>г' М и ^ №) = 2 ^
*=i
Ясно, что
М | Z (Д) |2 = m (Д),
П
где т(Д)=2 [G (bk) - G (ак)], и для непересекающихся интерва-
*=i
лов Д^К, ЬД и Д2 = (а2, Ь2]
MZ (Дд) Z (Д2) = 0.
Таким образом, Z - Z(A), Де!,, является элементарной стохастической мерой
с ортогональными значениями. Функция множеств т = т(Д), Дё10, однозначно
продолжается до меры на Ш = 3&(К), и из предшествующих конструкций
следует, что тогда Z = Z (Д), Д е §0, также можно продолжить на множестве
Де1, где E = <?@(R), при этом М | Z (Д) |2 = т (Д), Дей(/().
Тем самым между процессами {Zx}, k^R, с ортогональными приращениями и М j
Zx |2 = G (Л.), G(-оо) = 0, G(+oo)<oo, и ортогональными стохастическими
мерами Z = Z(A), Д е J(J?), со структурной функцией т = т{Д) существует
взаимно однозначное соответствие, при котором
Z> = Z (- оо, A,], G (А) = от (- оо, Л]
и
Z{a, b] = Zb-Za, т(а, b] = G"-Ga.
.По аналогии с обозначениями, принятыми в теории интеграла Римана-
