Единицы физических величин и их размерности - Сена Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Приведенные примеры еще раз показывают, что при применении анализа размерности, наряду с достаточно очевидными приемами, приходится вооружаться интуи-
78
понятие об анализе размерностей
(гл. 8
циеи не только при определении величин, существенных для данной конкретной задачи, но и при подборе основных единиц и даже записи размерностей. Так, в последней задаче не очевидно было, что размерность ускорения силы тяжести следовало записать не LT-^aFM'1 *).
При этом можно отметить, что сама по себе П-теорема ничего нового не добавляет к изложенному выше способу применения анализа размерностей, хотя, впрочем, в ряде случаев она позволяет проводить анализ в более удобном виде и представлять результат анализа в разных формах в зависимости от того, какие параметры нас интересуют. Основное ее значение, однако, состоит в том, что с ее помощью удобно вводить так называемые безразмерные критерии подобия.
Такими критериями в принципе могут быть любые из безразмерных комбинаций величин, определяющих исследуемое явление. Если в такой комбинации изменить значения образующих ее величин таким образом, чтобы сама комбинация не изменилась, ее численное значение останется неизменным даже при изменении размера основных единиц. Следовательно, при сохранении остальных величин останется неизменной и искомая величина. Так, например, в задаче о времени вытекания
ЖИДКОСТИ Последнее ЯВЛЯеТСЯ функцией раЗМернОГО от;
ношения h/g, безразмерного отношения s2/si и, можно также сказать, безразмерной величины р°. Последнее попросту означает, что время вытекания не зависит от плотности жидкости. В качестве критерия подобия в данном случае следует считать отношение S2/S1. Если в одинаковое число раз изменить площадь сечения сосуда Si и сечения отверстия S2, то при постоянном h (и, разумеется, постоянном g) время вытекания не изменится.
Введение критериев подобия оказывается особенно удобным в тех случаях, когда сведения для полного описания явления недостаточны или строгое решение задачи представляет большие математические трудности.
*) Причина этого, как нетрудно видеть, заключается в том, что в первом случае мы вынуждены были бы ввести еще одну размерную величину — инерционную постоянную. Записав размерность ускорения в виде FM~l, мы сохраняем запись второго закона Ньютона та.
§3.2|
п-теорема и метод подобия
73
Первый критерий, с помощью которого были получены важные теоретические результаты, относящиеся к течению реальной (вязкой) жидкости, был введен О. Рей-нольдсом и носит его имя. Критерий, или число Рей-нольдса Re, равен
Re-¦5^. (3.41)
где V — скорость течения жидкости, ?) — диаметр трубы, р — плотность жидкости и р — ее вязкость. Последняя, как будет показано ниже, имеет размерность L-1MT-1, и, следовательно, Re действительно является безразмерной величиной. При данном значении Re характер течения разных жидкостей в разных трубах с разными скоростями оказывается одинаковым; одинаково распределение давлений, скоростей и т. д. Опытным путем было найдено, что при достижении Re значения, равного 2200 (так называемое критическое число Рей-нольдса), упорядоченное струйчатое, или ламинарное, течение жидкости становится беспорядочным — турбулентным.
Введение критериев подобия оказалось весьма плодотворным при решении разнообразных задач аэро- и гидромеханики, теплопередачи и др. Особенно важным является то, что с помощью метода подобия можно изучать различные явления на моделях. Так, например, критерий Рейнольдса (который применим не только к течению жидкостей в трубах, но и к обтеканию жидкостью погруженных в нее тел) позволяет изучать сопротивление, испытываемое телами в потоке жидкости, если заменить тела геометрически подобными моделями меньших размеров и соответственно увеличить скорость потока.
Критерии подобия в том виде, как они образованы, являются безразмерными только при определенном выборе определяющих соотношений. Если же эти соотношения изменить, то изменятся размерности единиц, входящих в выражение данного критерия, и он приобретет определенную размерность. Так, например, можно показать, что при замене инерционной единицы силы на
80
понятие об анализе размерностей
[гл. 3
гравитационную критерий Рейнольдса приобретет размерность
[Re] = L3M-1T'2. (3.42)
Легко видеть, что критерий может быть вновь сделан безразмерным, если в него ввести инерционную постоянную, размерность которой, как мы знаем, равна
L-3MT2.
В заключение заметим, что составление безразмерных комбинаций бывает полезным и в том случае, когда задача без больших затруднений решается обычным путем. Преобразовав решение таким образом, чтобы определяемая величина была представлена как функция от ряда величин, из которых хотя бы часть может быть собрана в безразмерные комбинации, можно получить выражение, удобное для анализа и обобщений.
Глава 4
Единицы геометрических и механических величин
§4.1. Введение
Для построения единиц геометрических величин из всех основных единиц требуется лишь единица длины —• в системах СИ и МКГСС — метр, в системе СГС — сантиметр. В кинематике к единице длины добавляется вторая основная единица — единица времени секунда, одинаковая во всех системах. Наконец, при изложении динамики вводится третья основная единица — в системах СИ и СГС — единица массы соответственно килограмм и грамм, а в системе МКГСС — единица силы килограмм-сила. Все эти единицы были даны ранее, и на них мы останавливаться не будем.
