Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сена Л.А. -> "Единицы физических величин и их размерности " -> 24

Единицы физических величин и их размерности - Сена Л.А.

Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности — М.: Наука, 2000. — 309 c.
Скачать (прямая ссылка): edenicfizvel2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 93 >> Следующая

В задачу настоящей книги не входит подробное изложение методов и применений анализа размерностей, которому посвящены специальные книги. Помимо упомянутой книги П. В. Бриджмэна, здесь можно рекомен-
§3.1]
определение функциональных связей
67
. 1
12-1
довать книгу Л. И. Седова «Методы подобия и размерности в механике» (изд. 6-е, «Наука», M., 1967). Мы ограничимся лишь кратким ознакомлением того, как с помощью формул размерности можно решать практические задачи, для чего рассмотрим несколько простейших характерных примеров.
1. На пружине подвешен груз массой т (рис. 2). При удлинении пружины на h возникает упругая сила, равная (по абсолютной величине) (, стремящаяся вернуть пружину в исходное положение. Кроме силы на груз никакие другие силы не действуют. Определить время t возвращения груза в исходное положение.
Для решения задачи необходимо представить время как некоторую функцию известных величин т, h и f. Хотя в принципе эта функция может иметь различный вид, по поводу нее можно высказать некоторые определенные соображения. Предположим, что в состав этой функции входят какие-либо тригонометрические, показательные или другие неалгебраические функции. Очевидно, аргументом этих последних могут быть только безразмерные величины. Легко видеть, что в системе единиц L, М, T из величин т, h и /, размерности которых равны соответственно М, L и LMT'2, невозможно составить никакой безразмерной комбинации, так как T входит только в размерность силы, поэтому в такую комбинацию сила войти не может, а Л и т, разумеется, не могут дать безразмерного сочетания. Таким образом, единственно возможным видом связи между / и h, т и / является алгебраическая функция. Представляется естественным искать эту функцию в виде
t = Cfpti>mr, (3.1)
где С — неизвестный безразмерный коэффициент пропорциональности, а р, q и г — неизвестные показатели
1
Рис. 2.
68
понятие об анализе размерностей
(гл. 3
степени. Приравняем формулы размерности левой и правой частей уравнения (3.1):
T = LpMpr2pLqMr. (3.2)
Уравнение (3.2) будет инвариантным по отношению к размеру основных единиц (т. е. сохранится при увеличении или уменьшении размера основных единиц), если показатели степени при соответствующих символах размерности основных единиц в левой и правой части будут равны. Исходя из этого условия, получаем следующие уравнения для показателей степени:
0 = р + q, 0 = р + г, 1 = -2р, (3.3)
откуда
Соответственно _
t = С \f !у . (3.5)
Разумеется, проведенный анализ не позволяет ничего сказать о величине коэффициента С. Если сила f
пропорциональна Ii (как это имеет место при упругих силах), то, обозначая
f = kh, (3.6)
можем написать
*=CVГт- <3-7)
Здесь k — коэффициент упругости пружины, так что время оказывается не зависящим от удлинения Ii. Точное решение задачи, основанное на применении законов механики, приводит к тому же уравнению (3.7), но с определенным коэффициентом, равным їх/2*).
2. В цилиндрическом сосуде площадью сечения S1 до уровня, расположенного на высоте Ii от дна, налита
*) Легко видеть, что в случае силы тяжести (сила пропорциональна массе f—mg) формула (3.5); превращается в формулу для времени свободного падения С VhIg, где С — безразмерный коэффициент, численное значение которого, как известно, равно У~2.
§ 3.1} определение функциональных связей
69
- s,
идеальная (не обладающая вязкостью) жидкость плотностью р (рис. 3). В дне сосуда имеется отверстие площадью сечения S2- Определить время вытекания жидкости t.
Поскольку вытекание происходит под действием силы тяжести, естественно предположить, что в числе величин, определяющих процесс, должно присутствовать ускорение силы тяжести. В данном случае в принципе возможно присутствие , в искомой связи трансцендентной функции, включающей в аргумент величины h, Sx и S2 (р и g по приведенным выше соображениям в этот аргумент входить не могут). Тем не менее попытаемся и здесь представить искомое время в виде степенного одночлена вида
t-Cp'gWsUL (3.8)
где, как и выше, С — безразмерный и неопределяемый коэффициент пропорциональности, а р, q, г, k, I — подлежащие определению показатели степени. Составим уравнение размерностей
l-_-J l- _-j
Рис. 3.
: MpL'3pLqT~24LrL2kL21,
(3.9)
откуда, приравнивая показатели степени левой и правой частей, получим систему уравнений
0= -3p + q + r + 2(k + l),
0 = р,
1 = -2q.
(3.10)
Для определения пяти показателей степени мы имеем только три уравнения. Правда, два показателя определяются непосредственно:
P = O,
I
(3.11)
70
понятие об анализе размерностей
(гл. 3
Это уже представляет определенный интерес, так как показывает, что время вытекания не зависит от плотности жидкости и обратно пропорционально корню квадратному из ускорения силы тяжести. Для определения остальных показателей степени требуется либо иметь дополнительные данные, либо сделать какие-то предположения, основанные на нашем представлении о ходе процесса. Мы предположим, что абсолютная скорость жидкости в отверстии не зависит от его сечения. В этом случае время вытекания должно быть обратно пропорционально S2. Вместе с тем время вытекания при одинаковом начальном уровне h должно быть пропорционально общему количеству жидкости, а следовательно, сечению Si. Это дает для показателей степени к и / значения 1 и —1. При таком предположении сразу определяется показатель г = 1/2, и для времени вытекания получается выражение
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed