Единицы физических величин и их размерности - Сена Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Существенную помощь при анализе размерностей оказывает так называемая П-теорема, доказательство которой можно найти в упомянутых книгах Бриджмэна и Седова. Согласно этой теореме, если функциональная связь между п физическими величинами удовлетворяет условию инвариантности относительно размера основных единиц, а число основных единиц равно к, то можно составить п — к безразмерных комбинаций величин.
s 3.2]
п-теорема и метод подобия
75
Чем меньше эта разность, тем определеннее будет решение задачи. При п — к = 1 задача становится наиболее определенной и, как правило, однозначной*). Выделяя из общего числа величин ту, зависимость которой от остальных мы хотим определить, мы сможем выразить искомую зависимость в виде явной функции.
Проиллюстрируем сказанное примерами, для чего воспользуемся теми задачами, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе.
В первой задаче (возвращение в положение равновесия груза оттянутой пружиной) связываются четыре величины: масса груза, сила натяжения пружины, ее удлинение и время возвращения. Согласно П-теореме, при трех основных величинах — длине, массе и времени — возможно из четырех величин образовать одну безразмерную комбинацию. Соответственно связь между этими величинами можно записать в виде функции вида
ф(/рАв/тЛ*) = const, (3.33)
где аргумент функции безразмерный и стоящая справа постоянная величина также не имеет размерности. В аргументе все показатели степени можно, сохраняя его безразмерность, изменить в одинаковое число раз, в результате чего один из показателей может быть сделан равным единице. Наиболее удобно это сделать, очевидно, для искомой величины, в данном случае времени, так что, приравняв показатель к единице, получим
WhWt] = I. (3.34)
Уравнение (3.34) равносильно уравнению (3.2), с той только разницей, что все показатели имеют обратные знаки.
Ввиду того, что выбор основных единиц произведен, в качестве таковых могут быть приняты комбинированные единицы при условии, что их размерности будут независимыми. Поэтому в формулировке П-теоремы вместо числа основных единиц можно принимать число
*) Некоторая неоднозначность решения сохраняется лишь в том случае, если в числе величин, входящих в задачу, имеется несколько однородных,
76
понятие об анализе размерностей
[гл. 3
величин, размерности которых взаимно независимы. Это положение можно проиллюстрировать на примере второй задачи (о вытекании жидкости из цилиндрического сосуда). В этой задаче мы искали связь между следующими величинами: время вытекания t, плотность жидкости р, ускорение силы тяжести g, высота уровня h, сечения s1 и s2. Среди размерностей этих величин Т, L-3M, LT~2, L, L2 и L2 независимыми являются три: Т, L-3M и L. Таким образом, из перечисленных величин могут быть составлены три безразмерные комбинации:
Выделяя из комбинации h/gt2 время /, можно представить его в следующем виде:
как это и было получено нами раньше.
Рассмотрим еще один пример. Пусть требуется определить скорость V, с которой падает шарик в вязкой жидкости. Даны диаметр шарика d, его плотность pi, плотность жидкости р2 и ее вязкость [і. Разумеется, в число величин, определяющих процесс, входит ускорение силы тяжести. Для решения задачи мы имеем, таким образом, шесть величин при трех основных единицах, что позволяет составить три безразмерные комбинации. Как мы уже видели, задача становится тем более определенной, чем меньше разность между числом определяющих явление величин и числом основных единиц. В данном случае задачу можно сделать более определенной, если ввести еще хотя бы одну дополнительную основную единицу. В качестве таковой представляется целесообразным принять единицу силы. Размерности входящих в задачу величин будут при этом следующие:
(3.36)
Iv] = LT'1, [d] = L, [р,] = [р2] = L-3M, [[X] = L-2TF, [g] = FM~l.
Теперь мы можем составить уже лишь две безразмерные комбинации. В качестве одной из них, по анало-
§3.2]
п-теорема и метод подобия
77
гии с ранее рассмотренными примерами, напрашивается отношение рг/рь Составляя уравнения для показателей степеней остальных величин, мы легко получим вторую комбинацию, включающую, в частности, любую из плотностей, например pi:vnpJl(T2g~x. Отсюда для искомой скорости падения мы найдем
,-С«М,(?). (3.37)
Функция ф(рг/рі) данными задачи не определяется. Разумеется, задача была бы еще более неопределенной, если бы мы сохранили лишь три основные единицы. Интересно заметить, что почти такая же задача о скорости всплывания в жидкости воздушного пузырька (плотностью которого можно пренебречь) становится вполне определенной, так как число входящих величин при этом уменьшается на единицу. Легко показать, что в этом случае безразмерная комбинация имеет вид
откуда скорость всплывания пузырька
V = Cd*|i"W- (3.38)
Сопоставляя (3.38) и (3.37), можно заключить, что функция ф(р2/рі) имеет вид
так что (3.37) превращается в
o = C-^(P1-P2). (3.40)
Теоретический расчет дает для С значение 1/18.
Легко видеть, что формула (3.40) описывает все случаи движения шарика в вязкой жидкости как при Pi > p2, так и при P1 < р2, вплоть до pi = 0, поскольку V может принимать как положительное, так и отрицательное значение.
