Единицы физических величин и их размерности - Сена Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
угол, который вырезает на поверхности сферы площадку, равную квадрату радиуса этой сферы.
В астрономии применяется единица телесного угла — квадратный градус (П°)—телесный угол, конус которого представляет собой четырехгранную пирамиду с углами между ребрами, равными 1°:
Ї D0 = 3,046- 10~4 стер = 2,424- Ю-5 телесного угла
полной сферы.
Замечание о возможности введения самостоятельной внесистемной единицы угла на плоскости в равной мере относится и к измерению телесного утла, с той лишь разницей, что в последнем случае в качестве такой единицы практически применяется только прямой угол (за исключением астрономической единицы — квадратного градуса).
В связи со сказанным представляется целесообразным сделать следующее замечание. В ГОСТ 9867—61, определяющем построение Международной системы СИ,
§ 4.2]
геометрические единицы
89
единицы угла и телесного угла — радиан и стерадиан — выделены в особую группу «дополнительных единиц». Нам кажется, что такое выделение совершенно необос-новано и может привести к недоразумению, в частности заставит нас считать эти единицы находящимися вне какой бы то ни было системы. В действительности же, как сказано выше, то обстоятельство, что радиан и стерадиан не имеют размерности по отношению к основным единицам системы, отнюдь не означает, что они являются внесистемными единицами. Уравнения (4.5) и (4.6), дающие определения угла и телесного угла, представляют собой типичные определяющие соотношения, в которых коэффициент пропорциональности, как обычно, полагается равным единице и лишенным размерности. Таким образом, следует считать, что единицы угла и телесного угла — радиан и стерадиан — являются полноправными производными единицами, с той лишь особенностью, что эти единицы оказываются одинаковыми во всех системах.
Если считать, что безразмерные единицы следует выделять в какую-то особую группу «дополнительных единиц» — не основных и не производных, то в эту группу должны быть включены и такие величины, относящиеся к теории колебаний (см. ниже), как фаза, добротность и, разумеется, любые безразмерные комбинации величин, в частности упоминавшиеся выше критерии подобия.
Кривизна. Всякая кривая линия в каждой своей точке имеет определенную кривизну. Элемент кривой, примыкающей к данной точке, можно представить частью окружности некоторого радиуса г (рис. 7). Величина, обратная г,
P = T (4.7)
й- служит мерой кривизны кривой в дайной точке, а сам радиус г называется радиусом кривизны. Таким образом,
so
геометрические и механические единицы [гл. *
единица кривизны определяется как кривизна в такой точке, в которой радиус кривизны этой кривой равен единице длины.
Кривизна поверхности. Когда мы имеем дело с поверхностью, понятие кривизны становится более сложным. Если в какой-либо точке поверхности провести
А,
Рис. 8.
перпендикулярно касательной плоскости Ni и Af2 (рис. 8), то пересечение поверхности с этими плоскостями даст две кривые линии AiMB1 и A2MB2, которые могут быть охарактеризованы соответствующими радиусами кривизны ri = O1M и r2 = O2M и кривизнами pi = 1/п и
P2 = Mr2.
В дифференциальной геометрии доказывается, что, как бы ни были проведены эти две секущие плоскости, сумма
р=р1 + р2 = -1 + ± (4.8)
будет оставаться постоянной. Эта сумма носит название средней кривизны в данной точке поверхности. Иногда средней кривизной называют величину, вдвое меньшую:
Р' = 4(7Г + ^)- (4.8а)
Очевидно, что для сферы средняя кривизна будет
2
§ 4.2]
геометрические единицы
ИЛИ
P'= 7» (4.9а)
где г — радиус сферы.
Кроме средней кривизны, поверхность иногда характеризуют гауссовой кривизной, которая определяется выражением
/C = TT-' (4Л0)
где г\ и Гг имеют то же значение, что и в формуле (4.8). Для сферы
К = ;?. (4.11)
Размерность как кривизны кривой линии, так и средней кривизны поверхности
Ip] = [Pl = L-1. (4.12)
Размерность гауссовой кривизны
[K] = L"2. (4.13)
Единицей кривизны кривой в системах СИ и МКГСС является обратный метр — кривизна кривой, радиус кривизны которой в данной точке равен одному метру. В системе СГС соответственно единица кривизны — об* ратный сантиметр. Единицами средней кривизны поверхности также являются обратный метр и обратный сантиметр, причем р равняется единице для сферы радиусом два метра (в системах СИ и MKCA), два сантиметра (в системе СГС) или же для цилиндра радиусом один метр и один сантиметр. Соответственно р' равняется единице для сфер с радиусом один метр и один сантиметр или для цилиндров с радиусом 0,5 метра и 0,5 сантиметра. Единицами гауссовой кривизны (1/м2) и (I/см2) являются гауссовы кривизны сфер с радиусами один метр и один сантиметр. Очевидно, аг' = 10~2 см~1 и м'2 = Ю-4 саг4.
Моменты плоских фигур. В сопротивлении материалов широко используются специальные геометрические характеристики плоских фигур, представляющих собой, например, сечения различных элементов конструкций.
92
геометрические и механические единицы [гл. 4
Эти характеристики имеют и соответствующие единицы измерения.
Статический момент относительно оси представляет собой величину, определяемую как
