Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сена Л.А. -> "Единицы физических величин и их размерности " -> 25

Единицы физических величин и их размерности - Сена Л.А.

Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности — М.: Наука, 2000. — 309 c.
Скачать (прямая ссылка): edenicfizvel2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 93 >> Следующая

Что касается коэффициента С, то, как и в предыдущем примере, анализ размерности не дает возможности его определить. Расчет показывает, что этот коэффициент равен УІГ.
Определение показателя степени г возможно также другим путем. Поскольку в условии задачи ничего не говорится о форме отверстия и форме сечения сосуда, можно единицу площади отнести к числу основных, не связывая ее с единицей длины. В этом случае вместо уравнения (3.9) следует написать
где S— условное обозначение размерности площади.
•Из этого уравнения дополнительно к условиям р = 0 и q = —1/2 получим
k=~l, г = ~. (3.14)
Таким образом, в качестве решения задачи мы имеем
T = MpL-3pLT2QLrSkSl,
(3.13)
(3.15)
s 3.1]
определение функциональных связей
7f
где, правда, в отличие от (3.12) tp(s2/si) является неизвестной функцией отношения S2Is1.
Легко видеть, что по сравнению с первоначальным положением, когда требовались специальные предположения, нам удалось добиться большей определенности решения задачи благодаря введению дополнительной основной единицы.
3. На тело массой т действует постоянная сила f на пути /г. Определить скорость, которую приобретет тело в конце пути.
Аналогично предыдущим примерам запишем скорость в виде
v = Cfpm"hT (3.16)
с неизвестным коэффициентом С и показателями степени р, q и г.
Уравнение размерности будет иметь вид
Lr1 = LpMpT2pMQL\ (3.17)
Сопоставляя показатели степени, легко получим
откуда
с = С]/-?. (3.19)
Решение этой задачи на основе закона сохранения энергии дает, как известно,
<зл9а>
т. е. С = /2.
Рассмотрим ту же задачу несколько иначе. Попробуем найти искомую скорость с помощью того же анализа, размерностей^ но в такой системе единиц, в которой единица силы определяется не вторым законом Ньютона, а законом всемирного тяготения. В этой системе размерность силы
U] = L-2M2. (3.20)
72
понятие об анализе размерностей
(гл. 3
Уравнение размерности, построенное иа основании (3.16), будет
LT'1 = Г2рМ2рМ"Ьг. (3.21)
Мы пришли к абсурдному, противоречивому результату. В левой части размерность времени входит в степени —1, в то время как в правой части время вообще отсутствует. Какова же причина этого противоречия? Рассматривая существо задачи, мы видим, что основной закон, определяющий данный процесс — ускорение под действием внешней силы — т. е. второй закон Ньютона, выпал из рассмотрения. Это существенно в том отношении, что в принятой нами системе единиц в выражении для второго закона Ньютона должна стоять инерционная постоянная, размерность которой
[Ki) = L-3MT-.
Введя в уравнение размерностей размерность инерционной постоянной, мы получим совместные уравнения, однако для определения четырех степеней мы будем иметь только три уравнения. Действительно; написав вместо (3.16)
V = CfIn4IfKl (3.22)
получим систему
1 = ~2p + r-3k, 0 = 2p + q + k, ¦\=2k,
(3.23)
из которой непосредственно определяется только k = —1/2, так что в искомой зависимости какой-нибудь один показатель степени остается неизвестным, и ее можно записать, например, в следующем виде:
Задачу можно сделать полностью определенной, если внести еще одну основную единицу. В качестве таковой
§ З.Ц
определение, функциональных связей
73
примем единицу силы. Обозначив ее размерность, как и раньше, F, получим для размерности инерционной постоянной
[Ki] = L-1M-1T2F. (3.25)
Записав теперь искомую зависимость в виде
V = CfmqhrKl, (3.26)
получим для показателей степени систему
(3.27)
откуда легко определяются все показатели степени
1 и 1
1 = г — k,
0 = q-k,
-1 = 2k,
0 = p + k,
и, следовательно,
v = CyJ^. (3.28)
Легко видеть, что если, наоборот, уменьшить число основных единиц, приняв для решения задачи систему с двумя основными единицами длины и времени, в которой размерности силы и массы
U] = Llr\ (3.29)
[M] = L3r2, (3.30)
то задача станет также неопределенной. Действительно, написав уравнение размерностей в виде
1Г] = LipripL3qT'2qL\ (3.31)
мы получим для нахождения степеней только два уравнения
I =4p + 3q + r, \
74
понятие об анализе размерностей
(гл. 3
Решение задачи вновь требует дополнительных предположений, не вполне очевидных, несмотря на простоту самой задачи. Уравнения (3.32) совместны и удовлетворяются, если подставить значения показателей из (3.18).
§ 3.2. П-теорема и метод подобия
Рассматривая приведенные примеры, мы приходам к выводу, что анализ размерностей не может являться универсальным методом, позволяющим автоматически находить интересующие нас зависимости между физическими величинами, участвующими в том или ином процессе. Применение анализа размерностей требует во многих случаях удачного выбора системы единиц, учета размерных постоянных, которые могут входить в выражения для законов, управляющих данным процессом, или в определения физических величин. Нередко требуются такие дополнительные предположения, которые приходится принимать интуитивно, и т. д.
Приведенные примеры показывают, кроме того, что чем меньше основных величин и чем больше параметров, участвующих в процессе (включая размерные постоянные), тем более неполной является система уравнений, которую можно составить для нахождения показателей степени при символах величин, входящих в искомую зависимость. В то же время возможны и такие случаи, когда уравнения размерностей приводят к несовместной системе уравнений для показателей степеней в формулах размерности. Это, как мы видели, свидетельствует о том, что какая-то из величин, существенных для решения задачи, оказалась неучтенной. В числе таких величин может быть и размерная постоянная.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed