Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
22 И. В. Савельев, т. I
337
будут поступательными и две — вращательными. Вращательные степени свободы соответствуют вращениям вокруг двух взаимно-перпендикулярных осей О'О' и 0"0", перпендикулярных к оси системы OO (рис. 231). Вра* щение вокруг оси OO для материальных точек лишено смысла.
Если две материальные точки связаны не жесткой связью, а упругой (т. е. так, что всякое изменение равновесного расстояния го между точками влечет за собой возникновение сил, стремящихся установить между точками первоначальное расстояние), то число степеней
вают колебательной. Итак, рассмотренная система имеет три поступательные, две вращательные и одну колебательную степень свободы.
Рассмотрим систему, состоящую из N упруго связанных друг с другом- материальных точек. Такая система имеет 3N степеней свободы. Существует равновесная конфигурация точек, отвечающая минимуму потенциальной энергии системы. Равновесная конфигурация характеризуется вполне определенными взаимными расстояниями между точками. Если точки вывести из положений, соответствующих равновесной конфигурации, в системе возникнут колебания. Положение системы можно определить, задав положение равновесной конфигурации и величины, характеризующие смещения точек из равновесных положений. Последние величины соответствуют колебательным степеням свободы.
Положение равновесной конфигурации, как и положение абсолютно твердого тела, определяется шестью величинами, которым соответствуют три поступательные
свободы будет равно шести. Положение системы в этом случае можно определить, задав три координаты центра инерции
ты центра
Рис. ‘232.
(рис. 232), два угла #, ср и расстояние между точками г. Изменения г соответствуют колебаниям в системе, вследствие чего эту степень свободы назы-
338
и три вращательные степени свободы. Таким образом, количество колебательных степеней сврбоды равно ЗЛ/ —6і).
Из опытов по измерению теплоемкости газов вытекает, что при определении числа степеней свободы молекулы атомы следует рассматривать как материальные точки. Следовательно, одноатомной молекуле нужно приписывать три поступательные степени свободы, двухатомной молекуле, в зависимости от характера связи между атомами, следует приписывать либо три поступательные и две вращательные степени свободы (при жесткой связи), либо, кроме этих пяти, еще одну, колебательную степень свободы (при упругой связи), трехатомной молекуле с жесткой связью — три поступательные и три вращательные степени свободы и т. д.
Заметим, что, сколько бы степеней свободы ни имела молекула, три нз них — поступательные. Поскольку ни одна нз поступательных степеней свободы молекулы не имеет преимущества перед остальными, -на каждую из них должна приходиться в среднем одинаковая энергия, равная одной трети значения (101.1), т. е. kT/2. Естественно предположить, что ни один из видов движения не имеет преимущества перед другими и, следовательно, на любую степень свободы — поступательную, вращательную и колебательную — должна приходиться в среднем одинаковая энергия (точнее говоря, кинетическая энергия), равная ?772. Это утверждение и представляет собой содержание положения, о равнораспределении энергии по степеням свободы. Насколько справедливо это положение, будет выяснено в следующем параграфе.
Согласно положению о равнораспределении среднее значение энергии одной молекулы є будет (при той же температуре) тем больше, чем сложнее молекула, чем больше у нее степеней свободы. При определении ё нужно учесть, что колебательная степень свободы должна обладать вдвое большей энергетической емкостью по сравнению с поступательной или вращательной. Это объясняется тем, что поступательное и вращательное движение молекулы связано с наличием только кинетической
') Предполагается, что равновесные положения точек ле лежат па одной прямой. В противном случае вращательных степеней свободы будет только две, а колебательных 3N — 5. С таким случаем мы имели дело при рассмотрении системы, состоящей нз двух точек.
22*
339
энергии, в то время как колебательное движение связано с наличием и кинетической, и потенциальной энергии, причем для гармонического осциллятора среднее значение кинетической и потенциальной энергии оказывается одинаковым. Поэтому на каждую колебательную степень свободы должны приходиться в среднем две половинки kT — одна в виде кинетической энергии и одна в виде потенциальной.
Таким образом, средняя энергия молекулы должна равняться:
ё = |йГ, (101.3)
где і — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:
I " ^iioct "I- ^вращ + ^Аіколеб* ^^)
Для молекул с жесткой связью между атомами і совпадает с числом степеней свободы молекулы.
§ 102. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального гава
Вследствие того, что молекулы идеального газа на расстоянии не взаимодействуют, внутренняя энергия такого газа будет складываться из энергий отдельных молекул. Следовательно, внутренняя энергия одного кило-моля идеального газа будет равна произведению числа Авогадро на среднюю энергию одной молекулы:
