Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
При ударе о стенку сосуда молекула сообщает ей импульс, численно равный изменению импульса молекулы. Каждый элемент поверхности стенки AS непрерывно подвергается бомбардировке большим количеством молекул, в результате чего за время Ai получает суммарный импульс А К, направленный по нормали к AS. Отношение AK к At дает, как известно из механики, силу, действующую на AS, а отношение этой силы к AS даст давление р.
Молекулы движутся совершенно беспорядочно, хаотически; все направления движения равновероятны, ни одному из них не может быть отдано предпочтение перед другими. Основанием для такого утверждения служит то обстоятельство, что давление газа на стенки сосуда всюду одинаково. Если бы движение молекул в каком-то направлении преобладало, давление газа на участок стенки, лежащий в этом направлении, было бы, естественно, больше.
Скорости молекул могут быть самыми различными по величине. Более того, скорость молекулы должна меняться, вообще говоря, при каждом соударении1), причем с равной вероятностью она может как возрасти, так и уменьшиться. Это следует из того, что суммарная кинетическая энергия двух молекул до и после их соударения должна быть одинакова. Следовательно, возрастание скорости одной молекулы должно сопровождаться одновременным уменьшением скорости другой.
Для облегчения решения поставленной задачи мы введем некоторые упрощения, касающиеся характера движения молекул. Во-первых, будем полагать молекулы движущимися только вдоль трех взаимно перпен-
') Напомним, что при упругом центральном соударении двух шаров равной массы шары обмениваются скоростями.
324
і"
Рис. 214
дикулярных направлений. Если газ содержит N молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться NI3 молекул, причем половина из них (т. е. N/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина в противоположную (рис. 219). Основываясь на таком предположении, мы будет считать, что в интересующем нас направлении (например, по нормали к данному элементу стенки AS) движется 1/6 часть молекул.
Второе упрощение состоит в том, что всем молекулам мы при-пишем одинаковое значение скорости V.
Первое упрощение не влияет, как мы покажем в следующем параграфе, па конечный результат вычисления давления; уточнения, к которым приводит отказ от второго упрощения, будут выяснены в этом параграфе.
Вычислим импульс, сообщаемый стенке сосуда ударяющейся о нее молекулой. До удара о стенку импульс молекулы направлен по внешней нормали к AS (рис. 220) и равен mv. В результате удара импульс меняет знак. Таким образом, приращение импульса молекулы оказывается равным
( — mv) — (mv) = —2mv. (99.1)
По третьему закону Ньютона стенка получает при ударе импульс 2mv, имеющий направление нормали.
За время At до элемента стенки AS долетят все движущиеся по направлению к нему молекулы, заключенные в объеме цилиндра с основанием AS и высотой v Kt (рис. 221). Число этих молекул равно
AN = -rrnv AS At,
О
(99.2)
где п — число молекул в единице объема.
325
Можно, правда, возразить, что часть этих молекул на своем пути к стенке претерпит столкновения с дру-» гимн молекулами, вследствие чего изменит направление своего движения и не достигнет AS. Однако соударения не нарушают хаотического характера движения моле* кул: переход некоторого количества молекул из группы, движущейся по направлению к стенке, в группы, движущиеся в других направлениях, сопровождается одновре-менньгм переходом такого, же числа молекул из другик групп в группу, движущуюся по направлению к стенке. Поэтому при вычислении количества молекул, долетающих до стенки, соударения молекул друг с другом мож< но не принимать во внимание. В соответствии с (99.2) число ударов молекул о площадку AS за единицу времени будет равно
A N 1 . с
-гг — ^nv At 6
а число ударов о единичную площадку (AS = 1 м2) за секунду
AxV 1 /лл л\
Ж=б ет' (99.3)
Рас. 221. Умножив число ударов (99.2) на им»
пульс (99.1), сообщаемый стенке при каждом ударе, получим суммарный импульс AK, сообщаемый элементу стенки AS за время At:
AK = 2тV 4- nv AS At = ^nmv2AS At.
6 О
Отнеся импульс AK к промежутку времени At, получим силу, действующую на AS. Наконец, отнеся полученную силу к площадке AS, получим давление газа, оказываемое им на стенки сосуда. Следовательно,
P = -шг ("-4)
Учитывая, что є = mv2/2 представляет собой кинетическую энергию поступательного движения молекулы,
выражению для давления можно придать следующий
вид:
р = -| т. (99.5)
326
Прежде чем приступить к анализу полученных формул, выясним, как повлияет на их вид отказ от предположения о равенстве скоростей всех молекул.
Пусть скорости молекул различны, причем из п молекул, содержащихся в единице объема, Iii молекул имеют скорости, практически равные Vu п2 молекул имеют скорость V2 и вообще /7І молекул имеют скорость Vi. Очевидно, что
П\ + Ilt + ... + Ilt + ... = Ill = п.
Зиая распределение молекул по скоростям, .можно найти среднее значение скорости молекул. Для этого нужно сложить скорости всех п молекул и разделить полученный результат на п:
