Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
р — nkT.
(99.12)
р = nkT = (H1 + Hi + ...) kT, (99.13)
P = Pi + />2 + ...
Zj Pi-
V
(99.14)
330
Таким образом, мы пришли к закону Дальтона, который гласит, что давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов, образующих смесь.
§ 100. Строгий учет распределения скоростей молекул по направлениям
В этом параграфе мы произведем точный подсчет числа ударов молекул о стенку, не прибегая к упрощенному представлению о движении только вдоль трех взаимно перпендикулярных направ- г лений. Кроме того, мы покажем, что указанное упрощение не отражается на полученном нами в предыдущем параграфе Выражении
(99.4) для давления.
Любое направление в пространстве можно задать в виде отложенного из некоторой точки О направленного отрезка OA (рис. 223). Проведем через точку О ось Z и проходящую через эту ось плоскость Po. Проходящая через ось OZ плоскость Р, в которой лежит направление OA, образует с выбранной за начало отсчета плоскостью Pa угол ф. Направление OA образует с осыо OZ угол О. Очевидно, что задание углов ^ и ф полностью определяет направление OA. Для различных направлений угол ф изменяется в пределах от 0 до 2л, угол О — от 0 до я.
Таким образом, направление движения молекул газа можно охарактеризовать, задав для каждой молекулы значения углов § и ф, отсчитываемых от некоторого фиксированного направления OZ (в качестве такого направления можно взять, например, направление нормали к площадке) и проведенной через пего плоскости Pq.
Однако можно применить иной, более наглядный способ. Окружим точку О сферой произвольного радиуса R (рис. 224). Любая точка А на этой сфере будет определять некоторое направление от О к Л. Следовательно, направления, в которых движуУся молекулы газа, могут быть заданы точками на сфере.
Рис. 223.
331
Равновероятность всех направлений приводит к тому, что точки, изображающие направления движения молекул, распределяются по сфере с постоянной плотностью р, равной числу рассматриваемых молекул N, деленному на поверхность сферы:
C = TSfT- (100.1)
Соударения приводят к изменению направлений движения молекул, в результате чего положения N точек г на сфере непрерывно меняются.
I Однако вследствие хаотичности
і движения плотность точек остает-
ся все время постоянной.
Число возможных направлений в пространстве, как легко видеть, бесконечно велико. Реализуется же в каждый момент времени конечное число направлении, равное рассматриваемому количеству молекул N. Отсюда следует, что постановка вопроса о числе молекул, имеющих заданное (изображаемое точкой А на сфере или определяемое значениями углов 0 и if) направление движения, лишена смысла. В самом деле, поскольку число возможных направлений бесконечно велико, а число молекул конечно, вероятность того, что в строго определенном направлении летит хотя бы одна молекула, равна нулю.
Правомерной будет постановка вопроса о том, какое количество молекул движется в направлениях, близких к данному (определяемому углами Ф и (р). Таким направлениям соответствуют все точки элемента поверхности сферы AF, взятого в окрестности точки А (рис. 224). Поскольку точки, изображающие направления движения молекул, распределены по сфере равномерно, в пределах AF окажется количество точек, равное
AJV*, = P AF = (100.2)
Индексы О, ф при AN указывают на то, что имеются в виду молекулы, направления движения которых близки
332
направлению, определяемому углами О и <р. Введя телесный угол ДО = AFIR2, в пределах которого заключены направления, проходящие через AF, формулу (100.2) можно записать следующим образом:
A%v = JV^. (100.3)
Условия соударения молекул со стенкой (в частности, импульс, сообщаемый стенке при ударе) зависят только от угла Ф между направлением движения молекул и нормалью к элементу стенки AS и не зависят от угла <р. Найдем, какое количество молекул dn0 из п молекул, находящихся в единице объема, имеют направления, образующие с нормалью углы, заключенные в пределах от $ до Ф + db. Для этого согласно (100.2) нужно найти элемент поверхности сферы dF, соответствующий таким значениям О. Этот элемент поверхности, как видно из рис. 225, представляет собой шаровой пояс с длиной основания, равной 2n/?sin$, и шириной Rdb. Поверхность такого пояса равна
dF$ = 2лR sin $R db = 2лR2 sin О db.
Следовательно, в соответствии с *(100.2) получаем:
, 2л/?2 sin ft db I . л i„ /,ЛЛ
dtis = n-—----------= -g-nsin ftdft. (100.4)
Множитель -і- sin -в- характеризует распределение молекул по значениям угла О. Если сравнивать количества молекул dihu приходящиеся на один и тот же интервал углов d-d, но отличающиеся значением Ф, то такие dn0 изменяются как sin О.
Теперь найдем число ударов молекул о площадку AS за время AL Из числа молекул, направления движения которых образуют с нормалью к AS углы в пределах от # до Ф + d&, до AS долетят за время At все dN0
333
молекул, находящиеся в объеме AV показанного на рис. 226 наклонного цилиндра1); объем AV равен
AV = AS V At costf,
