Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
где и —скорость, предполагаемая одинаковой для всех молекул.
Число интересующих нас молекул, содержащихся в единице объема, определяется формулой (100.4), Поэтому
dN-e = йщAV =Yw sinfiddASv At cos#. (100.5)
Проинтегрировав это выражение по Q в пределах от О до п/22), получим полное число ударов о площадку AS за время At:
Отсюда для числа ударов об единичную площадку в единицу времени получим следующее выражение:
’) Все направления с данным # мы мысленно сводим в одну плоскость, отвечающую произвольному значению угла <р.
г) Значениям <1 от л/2 до я соответствуют молекулы, летящие в направлениях от AS.
Рис. 22С>.
2
с
334
которое отличается от полученного нами в. предыдущем параграфе выражения (99.3) только числовым множителем, равным 3/2.
Перейдем к вычислению давления газа на стенку. Каждая молекула, ударяющаяся о стенку под углом Ь, сообщает ей направленный по нормали импульс, равный 2mucos-& (рис. 227). За время Дt об элемент стенки AS ударяется под углом & количество молекул dN$, определяемое формулой (100.5). Следовательно, импульс, сообщаемый AS этими молекулами, равен
dK$ = 2mv cos # dN$ = nmv2 AS At cos2 ft sin # d#.
Полный импульс AK, сообщаемый AS молекулами всех направлений, получим путем интегрирования:
AK-
J dKr-
¦¦ nmv2 AS At
cos2d sin Q dft = -^-.nmv2 AS At.
Отсюда давление
P =
&/( AS M
nmv2.
(100.7)
Выражение (100.7) совпадает с выражением для давления (99.4), полученным нами на основании предположения о движении молекул только в трех взаимно-перпендикулярных направлениях. Совпадение объясняется тем, что указанное предположение приводит, с одной стороны, к занижению числа ударов молекул о стенку[сравни(100.6) и (99.3)], а с другой,— к завышению импульса, передаваемого стенке при каждом ударе. При выводе формулы (99.4) мы принимали, что при каждом ударе стенке сообщается импульс, равный
2 mv. В действительности же величина сообщаемого стенке импульса зависит от угла ¦&, вследствие чего средний импульс, сообщаемый при одном ударе, равен
~ mv. В итоге обе неточности взаимно компенсируют
друг друга и даже при упрощенном рассмотрении получается точное выражение для давления.
/VV2 Iv -
sX/r У' Нормаль У
mv, 4.
Рис. 227.
335
§ 101. Равнораспределение энергии по степеням свободы
Полученное нами в § 99 выражение для средней энергии молекулы
e = ~kT (101.1)
учитывает только энергию поступательного движения молекулы. Однако наряду с поступательным движением возможны также вращение молекулы и колебания ато* мов, входящих в состав молекулы. Оба эти вида движения связаны с некоторым запасом энергии, определить который позволяет устанавливаемое статистической фи-* зикой положение о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы.
Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых мож'ет быть задано положение системы. Так, положение в пространстве материальной точки полностью определяется заданием значений трех ее координат (например, декартовых координат х, у, z или сферических координат г, {>, ср и т. д.). В соответствии с этим материальная точка имеет три степени свободы..
Положение абсолютно твердого тела можно определить, задав три координаты его центра инерции два угла Ї) и ф, указывающих направление какой-либо оси, связанной с телом и проходящей через его центр инерции (рис. 228), и, наконец, угол г[), определяющий направление второй связанной с телом оси, перпендикулярной к первой. Таким образом, абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы. Изменение координат центра инерции при неизменных углах •&, tp и ф обусловливается поступательным движением твердого тела. Поэтому соответствующие степени свободы называются поступательными. Изменение любого из углов •&, ф, при неизменном положении центра инерции обусловливается вращением тела, в связи с чем соответ-
336
ствующие степени свободы называются вращательными. Следовательно, из шести степеней свободы абсолютно твердого тела три являются поступательными и три — вращательными.
Система из N материальных точек, между которыми нет жестких связей, имеет 3N степеней свободы (положение каждой из N точек должно быть задано тремя координатами). Любая жесткая связь,
устанавливающая неизменное .?.?.?
взаимное расположение двух точек, уменьшает число степеней свободы на единицу. Так, напри- x„yt^ мер, если система состоит из двух материальных точек, расстояние I Рис. 229.
между которыми остается постоянным (рис. 229), то число степеней свободы системы равно пяти. В самом деле, в этом случае между координатами точек имеется соотношение
(X2 - Xi)2 + (IJ2 - yt)2 + (Z2 - Z1)2 = I2,
(101.2)
вследствие чего коордииаты не будут независимыми: достаточно задать любые пять координат, шестая определится условием (101.2). Чтобы классифицировать эти
о'
\
D----О
7Г
/
.?'
О’
Рис. 231.
-О-----------О
пять степеней свободы, заметим, что положение системы, состоящей из двух жестко связанных материальных точек, можно определить следующим образом: задать три координаты центра инерции системы (рис. 230) и два угла -& и ф, которыми определяется направление в пространстве оси системы (т. е. прямой, проходящей через обе точки). Отсюда следует, что три степени свободы
