Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Hh OO Изохорнческий
350
ки таблицы очевидны. Чтобы убедиться в справедливо сти четвертой строки, напишем уравнение политропы
(104.1) в следующем виде:
PM = P2Vn2, (Ю4.2)
где индексы 1 и 2 относятся к двум произвольно взятым состояниям. Извлечем из (104.2) корень степени п:
-L -L PiVl = P21V2.
Устремив теперь 11 К +оо ИЛИ —OO1 мы придем к условию
— V2,
которое характеризует изохорический процесс.
Из уравнения состояния идеального газа, написанного для одного киломоля, следует, что
P = By-. (104.3)
Подставив это значение р в уравнение (104.1) и учтя, что R— постоянная величина, получим уравнение политропы в переменных T и V:
TVn~l = const. (104.4)
Найдем теплоемкость киломоля идеального газа при политропическом проце'ссе. Согласно (96.4) и (102.8)
d'Q = CvdT + р dV.
Следовательно,
c = J!W = cv + PJT’ (104-5)
Чтобы найти будем исходить из уравнения по-
литропы в виде (104.4). Дифференцирование этого уравнения дает:
уп-1 dT + т (п - I) Vn'2dV = О,
откуда
dV ^ V = _ R
dT Т(п— I) р(п— 1)
[мы воспользовались соотношением (104.3)].
351
dV
Подстановка найденного нами значения в фор»
мулу (104.5) дает для теплоемкости киломоля идеаль-* ного газа при политропическом процессе следующее выражение:
R яСТ7 — С Ca = Cv--т = ^гг^. (104.6)
Это выражение не содержит параметров состояния р, V її Т. Таким образом, теплоемкость (104.6) есть величина постоянная. В соответствии с этим иолитроиические процессы можно определить как такие процессы, при копь рых теплоемкость остается постоянной. Такое определение является более общим, чем определение (104.1),— оно применимо к телам и системам тел любой природы, в то время как определение (104.1) справедливо только для идеального газа.
Исходя из предположения, что С = Cn = const, можно показать, что идеальный газ при этих условиях следует уравнению (104.1), где
Рекомендуем проделать этот вывод в псірядке упражнения.
§ 105. Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах
Работа, которая совершается при переходе из состояния 1 в состояние 2 каким-либо телом над внешними телами, равна, как известно (см. (96.3)):
Чтобы произвести интегрирование, нужно выразить р через V. Для этого воспользуемся связью между р и V при различных процессах.
Уравнение политропы идеального газа (104.1) можно написать следующим образом:
(105.1)
р Vn = P1V1I = P2V1.
tl
352
где ри Vi и р2, V2 — значения давления и объема газа соответственно в первом (начальном) и втором (конечном) состояниях, р и V — давление и объем в любом промежуточном состоянии.
Выразим в соответствии с этим соотношением давление газа через его объем и значения параметров в на» чальном состоянии1):
Рассмотрим сначала случай пф\\ тогда интеграл в (105.3) равен
Подставив это значение интеграла в (105.3) и произведя несложные преобразования, получаем:
Полученное выражение можно преобразовать, воспользовавшись тем, что, какой бы процесс ни происходил с идеальным газом, его параметры связаны уравнением состояния (98.14). В частности, это справедливо и для начального состояния:
Выражения (105.4) и (105.6) дают работу, совершаемую идеальным газом при любом политропическом
') С таким же успехом можно выразить давление через параметры конечного состояния.
(105.2)
Подставляя (10t>.2) в (105.1), получаем:
V1
(105.3)
(105.4)
(105.5)
Подставляя (105.5) в (105.4), получаем:
(105.6)
23 И. В. Савельев, т. I
353
процессе, кроме изотермического (соответствующего п = 1) *). В частности, при адиабатическом процессе
0°5-7)
или
<105'8>
Чтобы вычислить работу идеального газа при изотер-мическом процессе, заменим давление в формуле (105.1) его выражением через другие величины в соответствии с уравнением состояния. В результате получим (Г мож-но вынести за знак интеграла, поскольку она постоянна) :
A2-=T «Г І iF-TrW1"-^-
V1
Итак, работа, совершаемая идеальным газом при изотермическом процессе, равна
A12=^RT 1п?. (105.9)
При изобарическом процессе работа, совершаемая любым телом, в том числе и идеальным газом, равна, как следует из (105.1),
Al2 = Pi V2-V1). (105.10)
Тог же результат получается, если положить в
(105.4) п равным нулю. В заключение отметим, что при изохорическом процессе работа равна нулю, что справедливо для любых тел.
§ 106. Распределение молекул газа по скоростям
Молекулы газа движутся с самыми различными скоростями, причем как величина, так и направление скорости каждой отдельно взятой молекулы непрерывно меняются из-за соударений (как мы увидим в дальнейшем, при нормальных условиях каждая молекула пре-
терпевает в секунду примерно IO9 соударений).
¦) Отметим, что при n = 1 выражения (105.4) и (105.6) становятся неопределенными.
354
Так как все направления движения равновероятны, распределение молекул по направлениям будет равномерным: в пределах любым образом ориентированного, но постоянного по величине телесного угла ДО лежат в каждый момент времени направления движения в сред* нем одинакового числа молекул ДЛ^,ф.
