Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Разобьем ось скоростей на малые интервалы Avi. Каждому интервалу согласно (106.2) соответствует количество молекул:
ANvi = Nf (Vi) Avi. (106.10)
Поскольку интервал Avi мал, скорость каждой из ANvi молекул можно приближенно считать равной Vi — одному из значений скорости, принадлежащих интервалу Д Vi. Тогда сумму значений скоростей всех N молекул МОЖНО Представить В виде S Vi ANxj1- Разделив эту сумму на число молекул N, получим [с учетом (106.10)] выражение для средней скорости v:
V=h Vif (Vi) Avi.
Переходя от суммы к интегралу, находим, что
OO
v=J vf(v)dv. (106.11)
о
Если подставить в (106.11) выражение (106.7) для f(v) и произвести вычисления, получится:
"-/IF- <,об-|2>
Аналогичным_ образом для среднего значения квадрата скорости V2 получается выражение
OO
V2'= j" v2f(v)dv,
о
которое после подстановки f(v) и_ вычислений дает V2 = SkT/т. Корень квадратный из V2 называется средней квадратичной скоростью. Таким образом,
Этот результат согласуется с полученным ранее выражением (99.11) для є. Чтобы в этом убедиться, нужно заменить н (99.11) є через mv2/2.
Следует обратить внимание на то, что v Ф v
ср.кв
V Ф1 Ir.
Сопоставляя (106.8), (106.12) и (106.13), можно заметить, что Увер. V и Dcp кв одинаковым образом зависят от температуры и массы молекулы, отличаясь лишь числовым множителем. Если принять Dsep за 1, то v = 1,13,
^cp- KB
= 1,22 (рис. 241).
Необходимо подчеркнуть еще раз, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесном состоянии. Закон справедлив для любого числа N, если только это число достаточно велико. Закон Максвелла —статистический, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к большему числу одинаковых объектов они применяются. При малом числе объектов могут наблюдаться значительные отклонения от предсказаний статистики.
Если имеется смесь газов, находящаяся в равновесии, то в пределах молекул каждого сорта имеет место распределение (106.7) со своим значением т. Более тяжелые молекулы будут двигаться в среднем с меньшей скоростью, чем более легкие.
Исходя из распределения молекул по скоростям
IfBep V
^cp. Kg
Рис. 241.
2 kT
V1 dv,
(106.14)
можно наити распределение молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения. Для этого нужно перейти от переменной V к переменной Е, равной mv2/2. Произведя в (106.14) подстановку
363
и dv=-y=^de, получим /2 me ^
где dNf означает число молекул, энергия которых имеет значения, заключенные в пределах от е до е + rfe.
Таким образом, распределение молекул по значениям е характеризуется функцией
В заключение произведем оценку средней скорости молекул, например, кислорода. Вычисления удобнее производить, заменив в (106.12) отношение k/т равным ему отношением R/\i. Тогда выражение для средней скорости примет вид
Молекулярный вес кислорода равен 32. Следовательно, масса киломоля р = 32 кг/кмоль. Комнатная температура равна примерно 300 °К. Подставляя в формулу (106.17) численные значения входящих в нее ве-личин, получаем:
Таким образом, каждая молекула кислорода проходит за секунду путь, равный в среднем 0,5 км. Поскольку молекула претерпевает очень частые соударения с другими молекулами, этот путь состоит из большого числа коротких прямолинейных отрезков, образующих ломаную линию.
Молекулы водорода имеют массу, в 16 раз меньшую, чем молекулы кислорода, вследствие чего их скорость при той же температуре будет в 4 раза больше и составит при комнатной температуре в среднем почти
2 км/сек.
г
f (г) = А'е кТ J/7,
(106.16)
(106.17)
V =
/¦
8-8,31 • IO3 -300 3,14-32
500 м/сек.
364
§ 107. Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла
Первое экспериментальное определение скоростей молекул было осуществлено Штерном в 1920 г. Прибор, использованный для этой цели, состоял из двух коаксиальных цилиндров (рис. 242). По оси прибора была натянута платиновая нить, покрытая серебром. При нагревании нити электрическим током с ее поверхности испарялись атомы серебра. Скорости испарившихся атомов соответствовали температуре нити. Покинув нить, атомы двигались по радиальным направлениям. Внутренний цилиндр имел узкую продольную щель, через которую проходил наружу узкий пучок атомов (молекулярный пучок). Чтобы атомы серебра не отклонялись за счет соударений с молекулами воздуха весь прибор был эвакуирован.
Достигнув поверхности внешнего цилиндра, атомы серебра оседали на псе, образуя слон в виде узкой вертикальной полоски..
Если привести весь прибор во вращение, след, оставляемый молекулярным пучком, сместится по поверхности внешнего цилиндра на некоторую величину As (рис. 242). Это произойдет потому, что за время, пока агомы серебра пролетают зазор между цилиндрами, прибор успевает повернуться иа некоторый угол А<р, в результате против пучка окажется другой участок наружного цилиндра, смещенный относительно первоначального следа So на величину As, равную RAq> (R — радиус внешнего цилиндра). Рассматривая движение атомов серебра в связанной с цилиндрами вращающейся системе отсчета, смещение следа можно объяснить действием на атомы кориолисовой силы, равной 2ra[vto].
