Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
357
Сумма
2 &NV = 2 Atf (о,) А;ot = 2 Pi А и,-,
взятая по всем интервалам До,, на которые можно разбить ось V, должна, очевидно, равняться полному числу молекул N. Отсюда вытекает следующее свойство функции распределения:
Sf(Oi)Awi=I. (106.4)
Последний результат можно пояснить также следующим образом. Выражение
представляет собой вероятность того, что скорость молекулы будет иметь одно из значений в пределах от 0 до оо. Поскольку скорость молекулы непременно имеет какое-то значение, указанная вероятность есть вероятность достоверного события и, следовательно, равна единице.
Строго говоря, условие (106.4) должно быть написано следующим образом:
OO
J f(v)dv=l. (106.5)
о
Соотношения (106.2) — (106.5) вытекают из общего определения функции распределения и не зависят от ее конкретного вида.
Функция распределения была найдена теоретически Максвеллом и носит его имя. Она имеет следующий вид:
та2
f (V) = Ae" 2krV2, (106.6)
где А — множитель, не зависящий от v, т — масса молекулы, k — постоянная Больцмана.
Характерно для функции распределения Максвелла то обстоятельство, что в показателе степени при е стоит взятое CO знаком «—» отношение кинетической энергии молекулы mv2j2, отвечающей рассматриваемой скорости V, к kT, т. е. величине, характеризующей среднюю энергию молекулы.
Поскольку множитель вида er°-v% при возрастании о убывает быстрее, чем растет множитель о2, функция,
358
начинаясь в нуле (из-за и2), достигает максимума и затем асимптотически стремится к нулю (рис. 239). Площадь, охватываемая кривой f(v), в соответствии с
(106.5) равна единице.
Условие (106.5) позволяет вычислить множитель А в (106.6):
00 mu2
A J е 2кТ V2 dv = 1.
о
Это условие носит название условия нормировки функции, А называется нормировочным множителем.
f(V)
Вычисления дают для А значение 4л (к. Таким образом, функция распределения Максвелла имеет вид
iW = 4n(lSa)2e 2kfV2' (106-7)
Как и можно было ожидать, конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т). Отметим, что давление и объем газа на распределение молекул по скоростям не влияют.
Может показаться, что функция (106.7) неправильно описывает распределение в связи с тем, что она обращается в нуль только на бесконечности, в то время как реализуемые значения скорости ограничены конечным
359
пределом. Однако при достаточно больших v функция
(106.7) столь мало отличается от нуля, что отмеченное несоответствие практически не имеет никакого значения.
Скорость, отвечающая максимальному значению функции распределения, будет, очевидно, наиболее ве-роятной. Действительно, если сравнить числа молекул ДNv, скорости которых лежат в пределах различным образом выбранных, но равных по величине интервалов Ду, то наибольшим будет ДNx, соответствующее интервалу, расположенному в окрестности максимума. Таким образом, решив задачу на нахождение максимума f(v), мы найдем наиболее вероятную скорость ?>Вер- Продифференцировав (106.6) по V и приравняв полученное выражение нулю, будем иметь:
Удовлетворяющие этому уравнению значения v = 0 и V = оо соответствуют минимумам f(v). Значение v, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой искомое vBep:
Подставив в (106.7) наиболее вероятную скорость, найдем максимальное значение f(v):
Исследуем, как изменяется кривая распределения в зависимости от температуры газа и массы молекулы. Из (106.8) и (106.9) следует, что при увеличении тем-пературы (или уменьшении массы молекулы) максимум кривой смещается вправо и становится ниже, причем, как мы знаем, площадь, охватываемая кривой, остается неизменной. На рис. 240 сопоставлены две кривые распределения, которые можно трактовать либо как относящиеся к различным температурам Ti и T2 (при одинаковой т), либо как относящиеся к различным массам молекул M1 и m2 (при одинаковой 7).
(106.8)
360
Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение V0, определяется выражением
OO
I f(o)dv.
Vo
На графике этому интегралу соответствует лежащая справа от D0 часть площади, ограниченной кривой. Как видно из рис. 240, относительное количество молекул,
T(V)
Рмс. 250.
имеющих скорости, превышающие V0, сильно растет с повышением температуры.
Таблица 7
V Д.V —г— . % Л V AjV IT *
tlUep °вер
0-0 л 8,! 2-3 4,6
0,5-1,о 7ч J >3 0,04
1,5-2 16,6 >5 8- 10
В таблице 7 приведены соответствующие функции
(106.7) относительные количества молекул ANjN для различных интервалов скоростей. Как видно из таблицы, более чем у 70% всех молекул скорость отличается ог наиболее вероятной не больше чем на 50%. Скоростью, более чем в 3 раза превышающей vBep, обладает в среднем только 0,04% молекул. Скорости же, превышающие 5і>вер, наблюдаются в среднем лишь у одной из 12 миллиардов молекул.
361
Зная распределение молекул по скоростям, можно найти среднее значение скорости, а также любой величины, являющейся функцией скорости, например V2.