Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Савельев И.В. -> "Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика" -> 104

Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.

Савельев И.В. Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика — М.: Наука, 1970. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): kursobsheyfizikit11970.djvu
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 150 >> Следующая


357
Сумма

2 &NV = 2 Atf (о,) А;ot = 2 Pi А и,-,

взятая по всем интервалам До,, на которые можно разбить ось V, должна, очевидно, равняться полному числу молекул N. Отсюда вытекает следующее свойство функции распределения:

Sf(Oi)Awi=I. (106.4)

Последний результат можно пояснить также следующим образом. Выражение

представляет собой вероятность того, что скорость молекулы будет иметь одно из значений в пределах от 0 до оо. Поскольку скорость молекулы непременно имеет какое-то значение, указанная вероятность есть вероятность достоверного события и, следовательно, равна единице.

Строго говоря, условие (106.4) должно быть написано следующим образом:

OO

J f(v)dv=l. (106.5)

о

Соотношения (106.2) — (106.5) вытекают из общего определения функции распределения и не зависят от ее конкретного вида.

Функция распределения была найдена теоретически Максвеллом и носит его имя. Она имеет следующий вид:

та2

f (V) = Ae" 2krV2, (106.6)

где А — множитель, не зависящий от v, т — масса молекулы, k — постоянная Больцмана.

Характерно для функции распределения Максвелла то обстоятельство, что в показателе степени при е стоит взятое CO знаком «—» отношение кинетической энергии молекулы mv2j2, отвечающей рассматриваемой скорости V, к kT, т. е. величине, характеризующей среднюю энергию молекулы.

Поскольку множитель вида er°-v% при возрастании о убывает быстрее, чем растет множитель о2, функция,

358
начинаясь в нуле (из-за и2), достигает максимума и затем асимптотически стремится к нулю (рис. 239). Площадь, охватываемая кривой f(v), в соответствии с

(106.5) равна единице.

Условие (106.5) позволяет вычислить множитель А в (106.6):

00 mu2

A J е 2кТ V2 dv = 1.

о

Это условие носит название условия нормировки функции, А называется нормировочным множителем.

f(V)

Вычисления дают для А значение 4л (к. Таким образом, функция распределения Максвелла имеет вид

iW = 4n(lSa)2e 2kfV2' (106-7)

Как и можно было ожидать, конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т). Отметим, что давление и объем газа на распределение молекул по скоростям не влияют.

Может показаться, что функция (106.7) неправильно описывает распределение в связи с тем, что она обращается в нуль только на бесконечности, в то время как реализуемые значения скорости ограничены конечным

359
пределом. Однако при достаточно больших v функция

(106.7) столь мало отличается от нуля, что отмеченное несоответствие практически не имеет никакого значения.

Скорость, отвечающая максимальному значению функции распределения, будет, очевидно, наиболее ве-роятной. Действительно, если сравнить числа молекул ДNv, скорости которых лежат в пределах различным образом выбранных, но равных по величине интервалов Ду, то наибольшим будет ДNx, соответствующее интервалу, расположенному в окрестности максимума. Таким образом, решив задачу на нахождение максимума f(v), мы найдем наиболее вероятную скорость ?>Вер- Продифференцировав (106.6) по V и приравняв полученное выражение нулю, будем иметь:

Удовлетворяющие этому уравнению значения v = 0 и V = оо соответствуют минимумам f(v). Значение v, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой искомое vBep:

Подставив в (106.7) наиболее вероятную скорость, найдем максимальное значение f(v):

Исследуем, как изменяется кривая распределения в зависимости от температуры газа и массы молекулы. Из (106.8) и (106.9) следует, что при увеличении тем-пературы (или уменьшении массы молекулы) максимум кривой смещается вправо и становится ниже, причем, как мы знаем, площадь, охватываемая кривой, остается неизменной. На рис. 240 сопоставлены две кривые распределения, которые можно трактовать либо как относящиеся к различным температурам Ti и T2 (при одинаковой т), либо как относящиеся к различным массам молекул M1 и m2 (при одинаковой 7).

(106.8)

360
Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение V0, определяется выражением

OO

I f(o)dv.

Vo

На графике этому интегралу соответствует лежащая справа от D0 часть площади, ограниченной кривой. Как видно из рис. 240, относительное количество молекул,

T(V)

Рмс. 250.

имеющих скорости, превышающие V0, сильно растет с повышением температуры.

Таблица 7

V Д.V —г— . % Л V AjV IT *
tlUep °вер
0-0 л 8,! 2-3 4,6
0,5-1,о 7ч J >3 0,04
1,5-2 16,6 >5 8- 10

В таблице 7 приведены соответствующие функции

(106.7) относительные количества молекул ANjN для различных интервалов скоростей. Как видно из таблицы, более чем у 70% всех молекул скорость отличается ог наиболее вероятной не больше чем на 50%. Скоростью, более чем в 3 раза превышающей vBep, обладает в среднем только 0,04% молекул. Скорости же, превышающие 5і>вер, наблюдаются в среднем лишь у одной из 12 миллиардов молекул.

361
Зная распределение молекул по скоростям, можно найти среднее значение скорости, а также любой величины, являющейся функцией скорости, например V2.
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 150 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed