Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Подставив найденное из последнего соотношения значение А в формулу (109.6), получим окончательное выражение распределения Больцмана для случая дискретных значений энергий:
Np
Ni= ¦ р'. (10Э.7)
2> кТ'
§ HO. Определение Перреном числа Авогадро
Распределение (109.4) было положено Перреном (1909 г.) в основу опытов по определению числа Авогадро. Взвешенные в жидкости очень мелкие твердые частицы находятся в состоянии непрестанного беспорядочного движения, называемого броуновским движенцем (см. § 91). Причина его заключается в том, что при достаточно малых размерах частиц импульсы, сооб-
372
щаемые частице ударяющимися о нее с разных сторон молекулами, оказываются некомпенсированными. О частицу заметных размеров ударяется одновременно большое число молекул, так что суммарный результат ударов молекул достаточно хорошо усредняется. При малых размерах частицы начинают проявляться отклонения скоростей отдельных молекул и числа ударяющихся молекул от средних значений. Если скорость или число молекул, ударяющихся о частицу с одной стороны, окажется иной, чем для молекул, ударяющихся с другой стороны, то результирующий импульс, сообщаемый частице, будет отличен от нуля и частица начнет двигаться в соответствующем направлении. В следующий момент результирующий импульс имеет иное направление. Следовательно, частица будет все время перемещаться беспорядочным образом.
Броуновское движение указывает на то, что достаточно малые частицы вовлекаются в совершаемое молекулами тепловое движение. Принимая участие в тепловом движении, такие частицы должны вести себя подобно гигантским молекулам, и на них должны распространяться закономерности кинетической теории, в частности закон
(109.4). _ I---с=з-----1
Основную трудность в опытах Перре-на составляло приготовления одинаковых Рис. 247. частиц и определение их массы. Применив многократно метод центрифугирования, Перрену удалось приготовить весьма однородную эмульсию из практически одинаковых шариков гуммигута1) с радиусами порядка нескольких десятых долей микрона. Эмульсия помещалась в плоскую стеклянную кювету глубиной 0,1 мм и рассматривалась с помощью микроскопа (рис. 247). Микроскоп имел столь малую глубину поля зрения, что в него были видны только частицы, находящиеся в горизонтальном слое толщиной примерно
1 мк. Перемещая микроскоп в вертикальном направлении, можно было исследовать распределение броуновских частиц по высоте.
]) Гуммигут — сгущенный млечный сок, получаемый нз надрезов в коре некоторых видов деревьев, растущих в Ост-Индии и на Цейлоне.
373
Обозначим высоту слоя, видимого в микроскоп, над дном кюветы буквой h. Число частиц, попадающих в поле зрения микроскопа, определяется формулой
AN = п [h) S Ah,
где ti(h) — число броуновских частиц в единице объема на высоте h, S — площадь, a Ah — глубина поля зрения микроскопа.
Применив к броуновским частицам формулу (109.3), можно написать:
P'h
ti (h) = ti(le kT ,
где п0 — число частиц в единице объема при h = 0, /?' — вес броуновской частицы в эмульсии, т. е. вес, взятый с учетом поправки на закон Архимеда.
Написав выражение числа частиц AN для двух разных высот hi и h2, получаем:
p'hі
AN1 = п0е кТ S Ah,
p'hз
AN2 = пф kT S Ah.
Наконец, логарифмируя отношение AN1IAN2, приходим к следующему выражению:
, А/У, _ р'(Ii2-Iii)
Ш AAf2 kT
С помощью этой формулы по измеренным р', Т, (Ii2 — hi), ANi и AN2 можно определить постоянную Больцмана k. Далее, разделив универсальную газовую постоянную R на k, можно было найти число Авогадро.
Полученное Перреном на различных эмульсиях значение Na лежало в пределах от 6,5-IO26 до 7,2* IO26 кмоль_1. Определенное другими, более точными методами значение Na равно 6,02 • IO26 кмоль~1. Таким образом, значение, полученное Перреном, находится в хорошем согласии со значениями, полученными другими методами, что доказывает применимость к броуновским частицам распределения (109.4).
374
§ 111. Средняя длина свободного пробега
Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 248). Как мы увидим в дальнейшем (см. § 117), эффективный диаметр несколько уменьшается с увеличением скорости молекул, т. е. с повышением температуры. Величина о = ndz называется эффективным сечением молекулы.
За время между двумя последовательными соударениями молекула газа проходит некоторый путь I, который называется длиной свободного пробега. Длина свободного пробега — слу- Рис. 248.
чайная величина. Иной раз молекуле удается пролететь между соударениями довольно большой путь, в другой раз этот путь может оказаться весьма малым. Как можно показать, вероятность w(l) того, что молекула пролетит без столкновений путь /, определяется формулой
__г-
а> (/) = <? \ (111.1)
где К — средний путь /, проходимый молекулой между двумя последовательными соударениями, называемый средней длииой свободного пробега. В соответствии с (111.1) вероятность того, что молекула
