Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ро = С,
где ро — давление на высоте h = 0.
Таким образом, при сделанном нами допущении о постоянстве температуры зависимость давления от высоты выражается формулой
RT
(108.4)
(T,>h)
Эта формула называется р° барометрической. Из нее следует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше (і) и чем ниже температура. На рис. 245 изо- Рис. 245.
бражены две кривые вида
(108.4), которые можно трактовать либо как соответствующие разным (і (при одинаковой Т), либо как отвечающие разным T (при одинаковой |х).
§ 109. Распределение Больцмана
Заменив в (108.4) давление р через nkT [см. (99.12)], получим закон изменения с высотой числа молекул в единице объема:
ttgft
п = ще *т .
Здесь п0 — числе молекул в единице объема на высоте, равной нулю, п — то же число на высоте h.
Полученное выражение можно преобразовать, заменив отношение HlR равным ему отношением tnjk, где m— масса одной молекулы, k — постоянная Больцмана:
п — іце
mgh
кТ
24 П. В. Савельев, т. I
(109.1)
369
Из (109.1) следует, что с понижением температуры Число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при T = 0 (рис. 246). При абсолютном нуле все молекулы расположились бы на земной Поверхности. При высоких температурах, напротив, п
слабо убывает с высотой, так что молекулы ока* зываются распределенными по высоте почти равномерно.
Этот факт имеет простое физическое объясне* ние. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия h двух тенденций: 1) при* Рис. 246. тяжение молекул к зем-
ле (характеризуемое си-. Лой mg) стремится расположить их на поверхности 5емли; 2) тепловое движение (характеризуемое величи-ой kT) стремится разбросать молекулы равномерно по Ьсем высотам. Чем. больше m и меньше Т, тем сильнее Преобладает первая тенденция и молекулы сгущаются у Поверхности земли. В пределе при T = 0 тепловое движение совсем прекращается и под влиянием притяжения молекулы располагаются на земной поверхности. При высоких температурах превалирует тепловое дви> Жение и плотность молекул медленно убывает с высотой.
На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии:
ер = ttigh. (109.2)
Следовательно, распределение (109.1) молекул по Ьысоте является вместе с тем и распределением их по Значениям потенциальной энергии. С учетом (109.2) формулу (109.1)- можно записать следующим образом:
ер
п = п0е kT, (109.3)
где По — число молекул в единице объема в том месте, где потенциальная энергия молекулы равна нулю, п —
370
число молекул в единице объема, соответствующее тем точкам пространства, где потенциальная энергия молекулы равна ер.
Из (109.3) следует, что молекулы располагаются с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия, и, наоборт, с меньшей плотностью в местах, где их потенциальная энергия больше.
В соответствии с (109.3) отношение П\ к п2 в точках, где потенциальная энергия молекулы имеет значения ?рI И Єр2г рЭВНО
Больцман доказал, что распределение (109.3), как и вытекающая из него формула (109.4), справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. В соответствии с этим распределение (109.3) называют распре-деле н и е м Б о л ь ц м а н а.
В то время как закон Максвелла дает распределение частиц по значениям кинетической энергии,закон Больцмана дает распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Для обоих распределений характерно наличие экспоненциального множителя, в показателе которого стоит отношение кинетической или соответственно потенциальной энергии одной молекулы к величине, определяющей среднюю энергию теплового движения молекулы.
Распределения (106.14) и (109.3) можно объединить в один закон Максвелла — Больцмана, согласно которому содержащееся в единице объема количество молекул, скорость которых лежит между и и V + dv, равно
где «О—число молекул в единице объема в той точке, в которой Ep = 0, a E — полная энергия молекулы, равная сумме ее кинетической и потенциальной энергий.
6P1 Рр2
JlL = е кТ
Ih
H2
(109.4)
TTlV4
24*
371
Б соответствии с условием (106.5) интегрирование
(109.5) по V в пределах от 0 до со приводит к выражению
ер
tl = П<уЄ кт,
совпадающему с распределением (109.3).
В распределении (109.5) потенциальная энергия ер и кинетическая энергия mv2]2, а следовательно и полная энергия Е, могут принимать непрерывный ряд значении. Если полная энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений: Ei, E2, ..., как это имеет место, например, для внутренней энергии атома, то распределение Больцмана имеет вид:
eI
Ni = Ae кт, (ЮЭ.6)
где Ni — число частиц, находящихся в состоянии с энергией Ei, А — коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию
^iNi = A^e кТ =N
(N — полное число частиц в рассматриваемой системе).
