Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
____________________"2______ ______tH______
- _ tl| + 0|-h ¦ ¦ ¦ + P1 + P2+ O2 -T . . . H-t>2+ ¦ ¦ ¦ + Vj + Vj + ¦ ¦ ¦ + Vj T ¦..
n
При этом мы должны взять Vi слагаемым П\ раз, V2—¦ слагаемым п2 раз и т. д. Следовательно, д можно запи-сать в виде
V = «.р»±и*р» + :-.-_±=IV „ „ (99.6)
Il Il лшк 1 1 v ’
Проведя аналогичные рассуждения для кинетической энергии поступательного движения молекулы є, найдем для среднего значения этой энергии следующее выражение:
где п\ — число молекул, обладающих энергией, практически равной с,.
Заметим, что согласно (99.7) суммарная кинетическая энергия молекул, содержащихся в единице объема, равна пі — произведению числа молекул в единице объема на среднюю энергию одной молекулы, причем этот результат не зависит от конкретного вида распределения молекул по скоростям.
Полагая, что молекулы каким-то образом распределены по скоростям, определим число ударов молекул о стейку сосуда. Среди молекул, обладающих значением скорости Vt, имеются молекулы, движущиеся в самых
327
различных направлениях. Поэтому можно упрощенно считать, что по направлению к элементу стенки AS движется 1/6 часть таких молекул. Следовательно, из числа молекул, имеющих скорость Vi, достигает элемента AS (рис. 222) за время At
AN1 = JrfilVi AS At. (99.8)
А полное число ударов молекул любых скоростей AiV = J] ANl = -ASAt V MiU1-.
Заменяя в соответствии с (99.6) через tiv, полу-
чим для числа ударов об единичную площадку в единицу времени следующее выражение:
VsnI
/ \ і \ / і і 1/>/1 і і і її і и і 'і її і
\ ;[ }\ I^
,AS
AN
ASAt
= invl). (99.9)
і
J- X / W ^ U-
I- V2At - ViM H
Рис. 222.
Это выражение отличается от полученного нами ранее
(99.3) только тем, что вместо одинаковой для всех молекул скорости V в него входит средняя скорость молекул V.
Каждая из A Ni молекул [см. (99.8)] при ударе о стенку сообщает ей импульс 2Hivi. Суммарный импульс,
сообщаемый AS за время At молекулами всех скоро-
стей, равен
Л К = 2mvtANi — 2 mvt IilVi AS At.
Чтобы получить давление, нужно AK разделить на AS и At:
та- 2 ЦГ1
2~ = T n‘e”
где є,- = тїР.12 — кинетическая энергия поступательного движения молекулы, имеющей скорость Vi.
Х«<-
1J Эта формула является приближенной. Более строгий расчет (см. следующий параграф) приводит к формуле
AN 1
Tc 11 = -Г ПО.
AS At 4
328
Заменяя в соответствии с (99.7) через пе, по*
лучим:
(99.10)
Это выражение отличается от ранее полученного выражения (99.5) тем, что вместо одинаковой для всех молекул энергии є в него входит средняя энергия ё.
Уравнение (99.10) является основным в кинетической теории газов. Согласно этому уравнению давление равно двум третям кинетической энергии поступательного движения молекул, заключенных в единице объема.
Из (99.10) следует, что при постоянном п (т. е. при неизменном объеме данной массы газа) давление пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекулы ё. Вместе с тем мы видели в предыдущем параграфе, что температура Т, измеренная по идеальной газовой шкале, определяется как величина, пропорциональная давлению идеального газа при постоянном объеме. Отсюда следует вывод, что температура T пропорциональна ё. Чтобы найти коэффициент пропорциональности между абсолютной температурой T и ё, сопоставим уравнение (99.10) с уравнением состояния идеального газа (98.13). Для этого умножим уравнение (99.10) на объем киломоля Vkm:
Замечая, что произведение числа молекул в единице объема на объем одного кнломоля равно числу Авогад-ро, последнее равенство можно написать в виде:
Сопоставляя это уравнение с уравнением состояния идеального газа для одного киломоля pVKм = RT, мы заключаем, что
о
рУк.Л= J (nVкм) Є.
PVкч з NдБ.
9
¦j N,\b = RT,
откуда
(99.11)
329
где буквой k обозначена величина RINa, называемая постоянной Больцмана. Ее значение равно
Итак, мы пришли к важному выводу: абсолютная температура есть величина, пропорциональная средней энергии движения одной молекулы. Этот вывод справед* лив не только для газов, Ho и для вещества в любом состоянии.
Выражение (99.11) замечательно в том отношении, что средняя энергия ё оказывается зависящей только от температуры и не зависит от массы молекулы.
Заменив в уравнении состояния идеального газа R через NAk и учитывая, что NaJVum равно можно полу-чить важную формулу:
Если имеется смесь нескольких газов, разные по массе молекулы будут иметь различную среднюю ско* рость, но средняя энергия молекул будет одна и та же. Давление в этом случае будет равно
где Iii, Пі и т. д. обозначают количество молекул первого, второго и т. д. сорта, содержащееся в единице объема. Выражение (99.13) может быть представлено в виде
Ho tiikT — это то давление р\, которое было бы в сосуде, если в нем находились бы только молекулы Iiep-вогб сорта, n2kT — то давление р>, которое было бы при наличии в сосуде только молекул второго сорта, и т. д. Давление, обусловленное молекулами какого-либо одного сорта, при условии, что они одни присутствуют в сосуде в том количестве, в каком они содержатся в смеси, называется парциальным давлением соответствующей компоненты газовой смеси. Введя парциальные давления, на основаним (99.13) можно написать, что
