Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
поля vr, которое является вертикальным относительно некоторого расслоения
JrY -> Y.
Аналогично точным последовательностям (1,28а)-( 1.286) в первом томе [
111 имеют место точные последовательности
0 -> VJkY <-> TJkY -" ТХ X JkY -> 0, (4.14)
0 - JkY X ТХ ^ TJkY - V'JkY - 0 (4.15)
X
векторных расслоений над JkY. Они не обладают каноническим расщеплением.
В то же время, будучи индуцированными на J*+IK, они расщепляются
канонически следующим образом. Существуют послойные мономорфизмы над JkY
\к)\ Jki~'Y ^ ТХ <8) TJkY, A(i.) = dxx (r) dik), (4.16)
JlY
в(ку. Jk^Y^TjkY (r)VJkY, в{к) = У2(<1у\ - yik!\dxx) (r) d'i, (4.17)
J'T
где сумма берется по всем мул ьти индексам Л, |Л| < к (сравните с
формулами (1.53) и (1.54) в первом томе [111 для к = 1). Формы
e\ = dy\-y\+xdxx (4.18)
называются контактными формами. Мономорфизмы (4.16) и (4.17) порождают
моно-
морфизмы над Jk+XY
А,*).- ТХ XJk>'Y ¦->TJkY X JkxlY, (4.19)
х ,/'Т
6{k): V*JkY X <-> T*JkY X JkiiY. (4.20)
J'Y J'-Y
Эти мономорфизмы расщепляют точные последовательности (4.14) и (4.15) над
Jk+XY и определяют канонические горизонтальные расщеплении индуцированных
расслоений
4k'*TJkY = \{ц(тх X Jk+'Y) (r) VJkY, (4.21)
V X ' ,/' 1Y
Xхдх + у\дх = Xxd[k) + ^2(у\ - х\/а+л)5-\
4+uT*JkY = ТХ (r) 6ik)(v'JkY X (4.22)
jtiy ' JlY '
xxdxx + yxdy\ = ^xx + ^2 yXy'x+x^dxx + yx0\,
где суммы берутся по всем мультииндексам |Л| ^ к.
В соответствии с каноническим горизонтальным расщеплением (4.21)
векторное
поле
Щ: Jk+tY Xld-> JkY х Jk+i щ -¦ d-> TJkY X J*+l
80
Глава 4. Связности в БРСТ-формализме
на многообразии (к + 1)-струй Jkv[Y, индуцированное векторным полем ик на
многообразии А:-струй JkY, допускает каноническое горизонтальное
расщепление
" = UH + uv = (u*d[k) + + Х>А - "АУА+д)^. (4-23)
где суммы берутся по всем мультииндексам |Л| ^ к.
Согласно каноническому горизонтальному расщеплению (4.22) всякая внешняя
1-форма ф на многообразии А:-струй JkY, будучи индуцированной на
многообразие (А: + 1)-струй Jk+\ допускает каноническое горизонтальное
расщепление
4+иф ={^>X + Y1 dxx + Е ф'в^ <4'24)
где суммы берутся по всем мультииндексам |Л| ^ к.
Как уже отмечалось, канонические горизонтальные расщепления (4.21)-(4.24)
не являются истинными горизонтальными расщеплениями на JkY, поскольку они
определены для расслоений, индуцированных с JkY на Jk+iY. Можно надеяться
преодолеть эту трудность в случае струй бесконечного порядка.
Прямая система (4.7) вещественных алгебр внешних форм и обратная система
(4.11) вещественных алгебр Ли проектируемых векторных полей на
многообразиях струй определены для любого конечного порядка г. Эти
последовательности имеют пределы при г -" оо соответственно в категории
модулей и алгебр Ли. Интуитивно можно представить себе элементы этих
пределов как объекты на проективном пределе обратной системы
х -L^y > ... (4.25)
многообразий струй конечного порядка JTY.
Замечание 4.1.2. Напомним, что проективным пределом обратной системы
(4.25) называется множество J(tm)Y такое, что для любого к существуют
сюръекпии
тг"0: J^Y -> X, ir*: J^Y -> У, тг^: J^Y -> JkY, (4.26)
которые образуют коммутативные диаграммы
J°°Y
,W\ .
JkY JTY
тг*
для всех к и г < к [7, 9]. ?
Проективный предел JXY обратной системы (4.25) существует. Он называется
пространством струи бесконечного порядка. Этот предел состоит из
элементов
(•••,?;, 4i?J'Y, qj 6 JJY,
декартова произведения J~I JkY, которые удовлетворяют соотношениям q, =
irj(qj)
к
для всех j > i. Таким образом, пространства струй бесконечного порядка
J^Y действительно представляют собой оо-струи j^s локальных сечений
расслоения Y -+ X. Различные сечения принадлежат одной и той же струе j(tm)s
тогда и только тогда, когда их ряды Тейлора в точке х € X совпадают друг
с другом во всех членах.
Замечание 4.1.3. Отметим, что существует естественная сюръекция пучка Yx
гладких сечений расслоения Y -+ X на пространство струй бесконечного
порядка J°°Y,
§ I. Связность на струях бесконечного порядка
81
поскольку все сечения s с одним и тем же ростком s.? в точке х ? X
принадлежат одной и той же струе j*s, но обратное утверждение неверно. ?
Замечание 4.1.4. Пространство оо-струй J^Y является также проективным
пределом подсистемы обратной системы (4.25), которая начинается с
пространства струй JrY любого конечного порядка г. Q
Как проективный предел пространство оо-струй J* Y наделяется слабейшей
топологией такой, что все сюръекции (4.26) непрерывны. База открытых
подмножеств этой топологии в J^Y состоит из прообразов всевозможных
открытых подмножеств в многообразиях струй конечного порядка JkY, к =
0,.... относительно морфизмов (4.26). Эта топология паракомпактна и
допускает разбиение единицы, реализуемое гладкими функциями. Пространство
оо-струй J^Y может быть наделено также некоторой структурой многообразия,
но эта структура имеет целый ряд недостатков [35, 145, 146|. Тем не менее
широкий класс дифференциальных объектов может быть определен на J^Y в
