Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
/А i ¦* А А\
(х ,у ,У , Pi, qi)
на Пvy и голономных координат
/А г А •г -А\
(X ,у ,Pi,y ,Pi)
на VII. ?
Доказательство. Аналогично известному изоморфизму расслоений ТТ*Х и Т"Т
X, изоморфизм
VV*Y ^V*VY, Pi <-+ Vi, pi^m,
устанавливается проверкой законов преобразования голономных координат
(xx,y',pi) на V*Y и (хх,у',у1) на VY. ?
Отсюда следует, что, как и лагранжев формализм, ковариантный гамильтонов
формализм на вертикальном расслоении Лежандра Пуу = может быть построен
как вертикальное расширение на VII ковариантного гамильтонова формализма
на П, когда сопряженными парами канонических переменных являются (у',рх)
и (у%,р$).
В частности, всякий лагранжиан (3.89) порождает вертикальное отображение
Лежандра
Lv = VL: VJ'Y -> УП, (3.92)
VY
Pi ~ diCv = irx, pf = дуя-, dv - уд, + pxdx. (3.93)
Благодаря изоморфизму (3.91) вертикальное расслоение Лежандра VII
наделено кано-
нической полисимплектической формой
= [dpf A dy' + dpf A di/'] Л ш (r) дх. (3.94)
Соответственно всякая гамильтонова форма
Н - pf dy' А шх - Нш
на расслоении Лежандра П (см. первый том [ 11], §2.3) определяет
гамильтонову форму Hv = (Vh)*Ev = (pfdy' + pfdy*) А ш\ - Нуш, (3.95)
Hv = dvH=(yidi+ptd\)n,
на вертикальном расслоении Лежандра VII, называемую вертикальным
расширением Я. Предложение 3.6.2. Пусть
7 = dxx (r) (дх + 7j + ), (3.96)
¦У\ = 9\Н, 7АА i = -diH, (3.97)
66
Глава 3. Суперсвязности
- гамильтонова связность на П -> X для гамильтоновой формы II. Тогда ее
вертикальное продолжение
^7=7 + dx>' (r) [ду1)& + Оу^Л] (3.98)
на VII --- X (см. формулу (П. 61) во втором томе |12|) является
гамильтоновой связностью для вертикальной гамильтоновой формы Ну (3.95).
а ее компоненты удовлетворяюг исходным уравнениям Гамильтона (3.97) и
уравнениям
- dj,Hv = ovc%H, 7а, = -Wv = -avatH. (3.99)
п
Этот факт устанавливается непосредственной проверкой. Как и в случае
уравнений Эйлера-Лагранжа, уравнения Гамильтона (3.99) являются
уравнениями для полей Якоби решений уравнений Гамильтона (3.97).
Перейдем теперь к заявленному выше суперсимметричному расширению теории
поля на расслоении Y -" X. Оно строится как ЕРС-инвариантное обобщение
теории поля на вертикальном касательном расслоении VY -> X 179, 113,
138].
Рассмотрим вертикальное касательное расслоение VVY к касательному
расслоению VY -" X и простое градуированное многообразие (VY. Лууу),
телом которого служит вертикальное касательное расслоение VY, а
характеристическим расслоением - векторное расслоение VVY - VY. Локальным
базисом этого градуированного многообразия является (с',с'), где (с1,с'}
- базисы слоев расслоения V*VY, дуальные голономным базисам {#,, О, }
расслоения VVY -> VY. Градуированные векторные поля и градуированные 1-
формы вводятся на VY как сечения векторных расслоений Vvvy и Уууу
соответственно. Комплексифицируем эти расслоения как С <8
X
и БРС-оператором на градуированных функциях на VY называется
ком-
х
плексное градуированное векторное поле
; д
UQ = c'Oi+ty-- (3.100)
ос'
Оно является нильпогентным, т.е. uq = 0.
Конфигурационным пространством суперсиммстричной теории поля служит
простое градуированное многообразие (KJ1 Y, AVyj\Y) • чьим
характеристическим векторным расслоением является вертикальное
касательное расслоение VVJ[Y -" VJ*Y к расслоению VJ*Y -" X. Его
локальный базис (с*, с*, с\, с^) - это послойный базис расслоения V* VJ1
К, дуальный голономному базису {д1, г),, df, } слоев расслоения
VVJ^Y -* VJ'Y. Аффинное расслоение
ха: Vj'Y -> VY
и соответствующий вертикальный касательный морфизм
Vтго: VVJ'Y -> VVY
порождают соответствующий морфизм (3.24) градуированных многообразий
{VJ'Y,Ayyj>Y) ^(VY,AyVY)-Введем оператор полной производной
§ 6. Суперсимметричная теория поля
67
Тогда закон координатных преобразований базисных элементов с\ и с\
принимает вид
с'1 - dxc\ cl = dxc". (3.101)
Поэтому с\ и с\ можно условно интерпретировать как струи базисных
элементов с' и с'.
Подчеркнем, что это не определение струй градуированных расслоений [1361.
Закон координатных преобразований (3.101) позволяет обобщить БРС-оператор
иц (3.100) на комплексные градуированные векторные поля
Q
j'uQ = uQ + c\d? + iyl-r- (3.102)
осх
на VJ*Y (сравните с формулой (1.52) в первом томе [II]).
Аналогичным образом может быть введено простое градуированное
многообразие с характеристическим векторным расслоением VVJkY -+ VJkY.
Его локальным базисом является
(с',с',с\,сл), 0 < |Л| ^ к.
Рассмотрим операторы
дс = с 0, + с\д- + с'^0- + ...,
дс = c'di + cl\df + c:\pdi + ¦ • -, (3.103)
dx = дх + IAdi + + сд^7 + ... .
Они удовлетворяют соотношениям
dkdr = dcdk, dxdf = d-edx. (3.104)
Главным принципом суперсимметричного расширения лагранжева формализма
является инвариантность относительно БРС-преобразований (3.102). БРС-
инвариант-
ным обобщением лагранжиана Ly (3.89) является градуированная п-форма
- Lv -|- idcdсСы (3.105)
на VJlY такая, что LjttQLs = 0. Соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа
