Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
VT: f ^rj(dHf)enl. (4.36)
Легко убедиться, что он представляет собой дифференцирование кольца
функций Более того, если Г2^, рассматривается как С°°(Х)-кольцо,
дифференцирование (4.36) удовлетворяет правилу Лейбница. Таким образом,
сопоставление
V: т <-> т j dH = Txdx (4.37)
является канонической связностью на С^ЗО-кольце в соответствии с
Определением 1.2.8 [116]. Поскольку дифференцирование является локальной
операцией и J(tm)Y допускает гладкое разбиение единицы, дифференцирование
(4.36) может быть расширено на кольцо С'30(Д'Х'У') всех
гладких функций на пространстве струй бесконечного
порядка J^Y. Соответственно связность V (4.37) расширяется до
канонической связ-
ности на С°°(.У)-кольце Crx'(J00Y). Будучи распространенными на
С°с(Д00У), дифференцирования (4.36) по определению являются векторными
полями на пространстве струй бесконечного порядка J°°Y. Такое векторное
поле VT можно интерпретировать как горизонтальный лифт
Тхдх >-+ Txdx
на Т°°У векторного поля т на базе X посредством канонической связности на
(топологическом) расслоении J°°Y - X.
86
Глава 4. Связности в БРСТ-формализме
Векторные поля Vr на J^ Y не являются проектируемыми, хотя они
проектируются на векторные поля на X. Проектируемые векторные поля на JXT
(их определение повторяет определение проектируемых векторных полей на
многообразиях струй конечного порядка) представляют собой элементы
проективного предела Vх1 обратной системы алгебр Ли (4.11). Такой
проективный предел существует. Его определение повторяет определение
проективного предела J^Y многообразий струй. Эго алгебра Ли такая, что
сюръекции
являются морфизмами алгебр Ли, которые образуют коммутативные диаграммы
для любых к и г < к. Ради простоты мы будем называть все элементы Vх
векторными полями на пространстве струй бесконечного порядка J*Y.
В частности, пусть и - проектируемое векторное поле на расслоении Y -* X.
Существует элемент 6 Р1*' такой, что
Можно рассматривать Jxw как струйное продолжение бесконечного порядка
векторного поля и на Y. Оно задается рекурентной формулой (4.10), где 0 ^
|Л|. Тогда всякий элемент Vх раскладывается в сумму, аналогичную (4.13),
где к - оо. Конечно это не является горизонтальным расщеплением. Для
данного векторного поля v на JXK, проектируемого на векторное поле т на
X, мы имеем его горизонтальное расщепление
посредством канонической связности V (4.37) (сравните с (4.23)). Заметим,
что компонента vy этого расщепления не является проектируемым векторным
полем на JXF, хотя это вертикальное векторное поле относительно
расслоения J^Y -* X.
§2. Вариационный бикомплекс
Горизонтальный дифференциал <1ц играет важную роль в БРСТ-формализме.
Наряду с БРСТ-оператором s вводится полный БРСТ-оператор s + dn и
рассматриваются БРСТ-когомологии по модулю dn (28, 29, 42, 871 (см.
§4.4).
Этот параграф гюсвяшен когомологиям вариационного комплекса, порождаемого
горизонтальным дифференциалом dH (см. ниже Теорему 4.2.2). Эти
когомологии лежат также в основе алгебраического подхода к выриационному
исчислению (см. ниже формулу (4.52)).
Замечание 4.2.1. Мы рассматриваем вариационный комплекс в исчислении
струй бесконечного порядка [21, 57, 78, 146, 149]. В сравнении с
вариационной последовательностью на струях конечного порядка [102, 152J,
существенное упрощение состоит в том, что если порядок струй не
ограничен, тогда существует разложение (4.29) внешних форм на
многообразиях струй по контактным и горизонтальным формам. О
Тп?: Vх- Рк
¦ръ
ТтгП^и) = Jku, Vfc^O.
v = vH + vv - TXdx + (v - rxdx)
§ 2. Вариационный бикомплекс
87
Используя свойства нильпотентности (4.33) горизонтального и вертикального
дифференциалов rf/y и dy, можно построить коммутативную диаграмму
О
О
П°|
d
X) -
й
<'н
0,0
Л
(-1)4/
Пх°
о
о -> nn-'(jr) * п:.
d"
Ли
,11.п-1 dv
d
ПП(Х)
0
fi!
п,
Еп
,0,н dy
(-1 >4/
( - 1)4,
dy
k.n dy
fi
П
Ek
(4.38)
где
Ek = 7*(Г&") = fik*fd" (fit""')- (4.39)
Поскольку столбцы и строки этой диаграммы представляют собой комплексы,
она называется комплексом комплексов.
Замечание 4.2.2. Операторы dH и dy, удовлетворяющие соотношениям
нильпотентности (4.33), определяют гак называемый бикомплекс, но они не
коммутируют между собой. Операторы же (-1 )kdH и dy в диаграмме (4.38)
взаимно коммутируют, и об этой диаграмме говорят как о комплексе
комплексов (см. детали терминологии в (8|). ?
Лн.мма 4.2.1. [78, 149|. Фактор Ek, к > 0, (4.39) в нижней строке
диаграммы (4.38) изоморфен дополнению Tjt(fit") подпространства dH (fit"
-') С fi*'"'. ?
Отсюда следует, что морфизмы тк, к > 0, являются проекторами со
свойствами ткотк=тк, TkodH=0.
Этот факт приводит к короткой точной последовательности
O^Kere* fij)'* Ек -> 0,
где ек = тк о hk. Это простая точная последовательность, поскольку
fi;
п+к
Кег ек (r) Ек.
Нетрудно показать, что d(Kcr ек) С Kerei+|.
Вследствие вышесказанного можно заменить объекты fit", dy и тк, к > 0, в
предпоследней строке диаграммы (4.38) соответственно на П^+*, d и ек. В
