Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
разности векторных расслоений Ео&Е\ в ¦К'-теории комплексных векторных
расслоений на многообразии X [6, 23]
74
Глава 3. Суперсвязности
(см. соотношение (А.2) и Приложении А). Ключепым является тот факт, что
когомологии Де Рами внешних форм ch/ (3.128) и ch(l=o (3.129) совпадают.
Это вытекает из следующих двух утверждений.
Предложение 3.7.3, Для произвольных ИК-суперсвязностн V и нечетного
эндоморфизма Т е End (Q(X)) справедливо равенство
d(Str(T)) = Str ([V,2'|). (3.130)
?
Доказательство. Так как равенство (3.130) локально, можно предположить,
что V имеет разложение (3.123) и Т является суммой суперматриц вида фкТк,
где фк - внешние формы, а 21* - постоянные супсрматрицы. Принимая во
внимание соотношение (3.7), получаем
Str (\<1 + 0,фкТк\) = Str (ЛфкТк) = <f(Str(0*T*)).
а
Пусть У = Я*, где R - кривизна ИК-суперсвязности V. Поскольку
Str ([V, Rk]) =0, из равенства (3.130) следует, что форма Str(/?*)
замкнута.
Предложение 3.7.4. j 1311. Для кривизны R НК-суперсвязности V класс
когомологий Де Рама внешней формы Str (Д*) не зависит от выбора НК-
суперсвязности V. ?
Совпадение классов когомологий Де Рама форм ch( (3.128) и ch(s,() (3.129)
позволяет анализировать характер Чженя при различном выборе супсрматриц и
параметра t в выражении (3.127).
Глава 4
Связности в БРСТ-формализме
Сушствуют различные подходы к построению БРСТ-формализма, Мы здесь
коснемся только тех его элементов, где используются многообразия струй и
связности, В частности, это техника так называемых локальных форм и
когомологий, а также БРСТ-тсизорных полей, действие на которые БРСТ-
оператора выражается в терминах БРСТ-снязностей. Мы начнем изложение с
аппарата струй бесконечного порядка, распространяемого на нечетные
духовые поля, так называемые духи для духов и антигюля,
§ 1. Связность на струях бесконечного порядка
В первом томе |П], §1.5 были приведены канонические горизонтальные
растепления (1.55) и (1.56) над многообразием струй j'Y касательного и
кокасательного расслоений к расслоению Y -* X. Выбором связности Г: Y ->
J[Y на расслоении Y -* X эти канонические расщепления превращаются в
обычные горизонтальные расщепления над К, которые уже не являются
каноническими, Аналогично касательное и кокасательное расслоения к
многообразию fc-струй JkY тоже допускают канонические горизонтальные
расщепления (см. ниже выражения (4.21) и (4.22)), но эти расщепления
осуществляются над многообразием (к + 1)-струй JkJr]Y. Поэтому
конструкция канонических горизонтальных растеплений для многообразий
струй конечного порядка не является замкнутой. Можно, однако, надеяться,
что в случае пространства струй бесконечного порядка JXY соответствующие
канонические горизонтальные расщепления над J^'Y являются истинными
горизонтальными расщеплениями, отвечающими некоторой канонической
связности на J^Y. Эта связность задает каноническое разложение внешних
форм на многообразиях струй и соответствующее разбиение внешнего
дифференциала
d = da + dy
на горизонтальную и вертикальную части. Эти разложения приводят к гак
называемому вариационному бикомплексу (см. ниже (4.38)) и алгебраическому
подходу к вариационному исчислению (см. §4.2). Этот бикомплекс обобщается
на градуированные алгебры и играет важную роль в БРСТ-моделях,
формулируемых в терминах струй (ем. §4.4).
Начнем с краткого изложения аппарата струй высшего порядка сечений
расслоения Y -* X 178, 98, 137, 139|. Это прямое обобщение понятия струй
первого и второго порядков. Мы следуем обозначениям первого тома (11|, §
1.5.
Пусть Y -> X - гладкое расслоение с послойными координатами (а:А, у*).
Обозначим Л, |Л| = г, набор индексов (ЛР... А|) по модулю их
перестановок. Назовем его мультииндексом. Соответственно пусть Л + Е -
мультииндекс
Л + Е = (АР... A|ff* ... <Т|) по модулю перестановок, а ЛЕ - объединение
мул ьти индексов
ЛЕ = (Аг...А|<г*...<Г|), где индексы А< и aj не переставляются между
собой.
76
Глава 4. Связности в БРСТ-формализме
Вводится оператор полной производной
к
d[k) = dx + ^2yUxd^. (4.1)
|Д|=0
Мы обычно будем опускать индекс (к) в этом выражении, если понятно о чем
идет речь. Используем компактные обозначения
<9д = Яд, ° • • • 0 0а,, <*л = dx, о ... о dA|, Л = (А,...
А,).
Многообразие струй порядка г сечений расслоения Y -> X (или просто
многообразие r-струй расслоения Y -> X) определяется как объединение
JTY = (J (4.2)
хбЛ"
классов эквивалентности jrxs сечений s расслоения Y -* X таких,
что различные
сечения з и s' принадлежат одному и тому же классу
эквивалентности jxs тогда
и только тогда, когда
s\x) = з"(х), д\з'(х) = д\зп(х), 0 < |Л| ^ г.
Короче говоря, сечения расслоения Y -* X отождествляются по г + 1 первым
членам их рядов Тейлора в точке х ? X. Ясно, что это определение не
зависит от выбора координатного атласа (хх,у') расслоения У -> X. При
этом само множество (4.2) может быть наделено координатами
(хХ,У\), 0<|Л|^г, (х\у\) оз = (хх,дАз'(х)), (4.3)
