Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
терминах дифференциального исчисления на модулях, изложенного в § 1.1.
Процедура следующая. Сначала на пространстве оо-струй J°°T вводятся
вещественные гладкие функции. Вещественная функция
называется гладкой, если для любой точки q ? J^Y существует открытая
окрестность U
Тогда такое же равенство имеет место для любого г > к. В частности,
функция 7г?°*/, индуцированная гладкой функцией на JrY, является гладкой
функцией на JXY. Гладкие функции на J^Y образуют вещественное кольцо
C^^J^Y). Векторные поля на пространстве оо-струй J^Y вводятся как
дифференцирования этого кольца. Они образуют локально свободный левый
C°C(J00T)-модуль Der (C00(J1tT)). В свою очередь, CX'(J°'T)-модуль Der
*(С'х'(.7осУ)) внешних 1-форм на JKY определяется как дуальный к модулю
векторных полей.
Однако обычно класс рассматриваемых дифференциальных объектов на J^Y
ограничивают алгебраическими пределами обратной системы (4.11) алгебр Ли
проектируемых векторных полей и прямой системы (4.7) модулей внешних форм
на многообразиях струй конечного порядка. Эти пределы образуют
подмножества вышеупомянутых (jogу) модулей векторных полей и внешних форм
на пространстве струй бесконечного порядка.
Начнем с прямой системы (4.7) вещественных модулей
внешних форм на многообразиях струй конечного порядка JkY. Предел этой
прямой системы по определению удовлетворяет следующим уссловиям [7, 9|:
• для любого г существует мономорфизм модулей fl* ->
• диаграммы
коммутативны для всех г и к < г.
Такой прямой предел существует. Это К-модуль, который является фактором
прямой суммы фйЦ при отождествлении индуцированных форм, т. е.
/: J^Y -> М
Slt=n*(jkY)
к
82
Г лава 4. Связности в БРСТ-формализме
если ф = ж 1*0. Другими слонами, при условии указанной идентификации
прямой предел Цх состоит из исех bhcluhhx форм на многообразиях сгруй
конечного порядка (включая расслоение Y и его базу X). Поэтому мы будем
обозначать образ внешней алгебры $1* в $2.*х тем же символом ft*, а
элементы ж?'*ф из П.х просто как ф.
Замечание 4.1.5. Очевидно, что П*х - прямой предел подсистемы прямой
системы (4.7), которая начинается с любого конечного порядка г. ?
Будучи Ш-модулем, прямой предел П'х имеет также структуру так называемого
фильтрованного -модуля |4). Рассмотрим прямую систему (4.8) коммутативных
К-колец гладких функций на многообразиях струй JrY. Ес прямой предел П'х
состоит из функций на многообразиях струй конечного порядка при условии
идентификации индуцированных функций. Поэтому является
подмножеством кольца С'х(J*~Y)
всех гладких функций на ./'"У, Это Е-колыю, фильтрованное R-кольцами il'l
С (см. ниже Определение 4.1.2). Тогда К-модуль Пх наделен структурой
фильтрованного Пх -модуля, задаваемой Ик -подмодулями О), модуля Лх..
Определение 4.1.2. Эндоморфизм Д вещественного модуля называется
фильтрованным морфизмом, если существует число г ? N такое, что
ограничение Д на является гомоморфизмом (}*к в 1 Yk+i над мономорфизмом
О)! с-> 1 для всех к. а
Теорема 4.1.3. |9|. Всякая прямая система эндоморфизмов {7*} модулей
такая,
что
J * J*
°7i - 7j oiTj
для всех j > i, имеет прямой предел 7,х в фильтрованных эндоморфизмах
модуля .
Если-все 7к являются мономорфизмами (соответственно эпиморфизмами), тогда
7,х -
тоже мономорфизм (соответственно эпиморфизм). Этот результат остается
справедливым также в обшем случае морфизмов между двумя разными прямыми
системами. ?
Следствие 4.1.4. |9|. Операция взятия групп когомологий цепного и
коцепного комплексов коммутируете переходом к прямому пределу. ?
Операция умножения
Ф-^/Ф, / е сх'(х), феп;,
имеет прямой предел. Поэтому Л*х наделено структурой С0с(Х)-модуля.
Операции внешнего произведения А и внешнего дифференцирования d также
имеют прямые пределы на П*х, обозначаемые для простоты теми же символами
А и d. Они наделяют Цх структурой Z-градуированной внешней алгебры:
т = е п.(tm),
т- О
где П(tm) - прямые пределы прямых систем
П"'( JT) " О,'," О'Г П(tm)+, - ...
М-модулсй внешних m-форм на многообразиях струй JrY конечного порядка.
Элементы Цх называются внешними m-формами на пространстве сгруй
бесконечного порядка. При этом выпоняются обычные соотношения внешней
алгебры:
Ю.х Л ilL С Гd: Ц* - d о d = 0.
В частности, можно построить комплекс Де Рама внешних форм на
пространстве струй бесконечного порядка
0--U... . (4.27)
§ 1. Связность на струях бесконечного порядка
83
Рассмотрим труппу когомологий Я'"(^х) этого комплекса. Согласно Следстиию
4.1.4 она изоморфна прямому пределу прямой системы гомоморфизмов
-> Hm({l*+t) -> ... групп когомологий Н"'(И*) коиепных комплексов
О -> R -> П" П1Г --> 0, 1 = dim JrY,
i.e. групп когомологий Де Рама
Нт(П*) =Hm(jrY)
многообразий струй JrY. При этом следует принять во внимание следующий
факт.
Предложение 4.1.5. Когомологии Де Рама H*(JrY) многообразий струй JrY
конечного порядка совпадают с когомологиями Де Рама H*(Y) расслоенного
пространства Y (35J. ?
Доказательство основывается на том, что расслоение струй JrY -> Jr ~[Y
