Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4" -> 45

Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 — М.: УРСС, 2000. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaikvantoviepolya2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 75 >> Следующая

духи), духи для духов и антиполя, которые являются четными и нечетными
алгебраическими объектами. Поэтому, чтобы применить формализм струй к
БРСТ-теории, следует дать геометрическое описание нечетных обектов в этой
теории, в том числе определить струи этих обектов. Важно отмстить, что
при формулировке БРСТ-теории в терминах струй антиполя вводятся в той же
манере, что и поля (см. ниже Замечание 4.3.3).
Начнем с духовых полей. В лагранжевом БРСТ-формализме (см., например, в
качестве обзора |80|) духи ассоциированы с параметрами калибровочных
преобразований. Мы ограничимся рассмотрением случая бозонных полей и
четных калибровочных преобразований с конечным набором генераторов. Тогда
духи являются нечетными алгебраическими обсктами. Аналогичная картина
наблюдается и в гамильтоновом БРСТ-формализме, где духи соответствуют
связям (см., например, [88]).
Были предложены различные геометрические модели духовых полей, чтобы
получить желаемый закон БРСТ-преобразований. Например, в калибровочной
модели Янга-Миллса на главном расслоении со структурной группой G духи
могут быть описаны как формы на групповом многообразии калибровочной
группы Gau (Р) (см., например, (39, 93, 140]). Однако такое описание не
распространяется на другие калибровочные теории (см. в [80] основные
примеры калибровочных моделей).
Пример 4.3.1. Рассмотрим упомянутую выше калибровочную теорию на главном
расслоении Р -* X над компактным многообразием X, структурная группа
которого G
§ 3. Струи духов и антиполей
91
является компактной полупростой матричной группой Ли. Соответствующее
пополнение Соболева превращает калибровочную группу Gan (Р) (см. ее
определение в первом томе [II] на стр. 78) в банахову группу Ли (см.
§5.1). Генераторы 1-параметрических групп калибровочных преобразований
представляют собой G-инвариантные векторные поля на главном расслоении Р,
отождествляемые с сечениями ( расслоения Ли алгебр
VCP = VP/G. (4.55)
Типичным слоем этого расслоения служит правая алгебра Ли g группы Ли G с
базисом {ег}, на которую структурная группа G действует по
присоединенному представлению. Пополнение Соболева множества сечений
расслоения Vc,P -> X совпадает с алгеброй Ли калибровочной группы Gan
(Р). Типичным слоем дуального расслоения V(,P к \\;Р является
коалгебра Ли g*. Для данного генератора калибровочных
преобразований ? - (г(х)ег соответствующий генератор (с
калибровочных преобразо-
ваний на расслоении связностей
С = j'P/G -+ X (4.56)
с координатами (жА, ар) (см. том первый [11|, § 1.7) имеет вид
& = + сгрча№ (4.57)
(см. выражение (А.26) в первом томе fll|). Если А - сечение расслоения
связностей С -*¦ X (т.е. калибровочный потенциал), генератор
калибровочных преобразований (с действует на А по закону
S: А = A\dxx (r) е, dxx (r) (0Л*Г + сгтАЦч)ег = <1$ + |Л, *| = VA$.
(4.58)
Соответственно сами калибровочные параметры преобразуются по
коприсоединснному представлению
(4-59)
Тогда классическое БРСТ-преобразование можно получить, просто заменив
калибровочные параметры в выражениях (4.58) и (4.59) духовыми полями. А
именно, рассмотрим формальный генератор
С - СТег (4.60)
калибровочных преобразований и подставим его в вышеупомянутые выражения.
Получим
s A = dC+[A,C\, sC=-'-[C,C\, (4.61)
s а; = дхсг + c;qApC\ s Cv = - ^c?(/CrC". (4.62)
Это в точности известный классический БРСТ-опсратор в калибровочной
модели Янга-Миллса. Например, пусть {Сг} - локальный послойный базис
расслоения V';P, дуальный к {е,}. Тогда С (4.60) является каноническим
сечением тензорного расслоения VgP(r)Vt;P, которое определяет тождественный
морфизм VGP -* VqP (см. первый том (11), Пример 1.4.3). Оно также
совпадает с духовым полем т/, определяемым как форма Маурера-Картана на
калибровочной группе Gau (Р) такая, что 7/(?) = ?,
( € VCP(X). Тогда БРСТ-оператор s (4.61) может быть введен как оператор
кограницы когомологий Шеналле-Эйленберга (см. § 7.2) коцепного комплекса,
элементами которого являются д-коцепи на VgP(X), принимающие значения во
внешней алгебре эквивариантныч g-значных форм на главном расслоении Р
[39, 140, 148). ?
Укажем на следующие две особенности духовых полей.
• Поскольку духи представляют собой нечетные поля на обычном гладком
многообразии' X и характеризуются духовым числом 1, с математической
точки зрения они могут быть описаны как производящие элементы
градуированной алгебры.
• Пример 4.3.1 показывает, что следует рассмотреть струи духовых полей.
92
Глава 4. Связности в БРСТ-формализме
Приводимая ниже геометрическая конструкция удовлетворяет этим условиям
[113|. Пусть Е -> X - тп-мерное векторное расслоение. Ассоциированное с
ним многообразие А:-струй JkE также является векторным расслоением над X.
Как и выше, положим J{IE - Е. Рассмотрим простое градуированное
многообразие (X,Aj*g), характеристическим расслоением которого служит
расслоение Л-струй JkE -" X. Для простоты будем обозначать это
градуированное многообразие JkE. Оно имеет локальный базис {Сд}, 0 ^ |Л|
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed