Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
- _ j в I j в =i в -да
ис - св? + чщ с вР
70
Г лава 3. Суперсвязности
Прямые вычисления покалывают что гамильтонова градуированная форма Hs
(3.108) супсрсимметричной теории поля инвариантна относительно
преобразований с генераторами (3.113). Как и в предыдущем случае,
градуированные векторные поля (3.107) и (3.113) тоже образуют
супералгебру Ли (3.111).
§ 7. Суперсвязности Неемана-Куилена
В этом параграфе мы рассмотрим особый класс суперсвязностей, введенных
10. Нсеманом в физической литературе [ 123. 124, 125| и Д. Куиленом в
математической литературе (115, 1311. Соответствующие расслоения, однако,
не принадлежат ни к классу градуированных многообразий и расслоений, ни к
классу супсррас-елоений. Суперсвязности Неемана-Куилена применяются для
вычисления характера Чженя в if-теории (см, ниже в этом параграфе), в
некоммутативной геометрии [ 126], ЬРСТ-формализме [ 104] и в некоторых
объединенных моделях физики высоких энергий (см. ниже в этом параграфе).
Пуеть X - ЛГ-мсрнос гладкое многообразие и ЛТ'Х - внешнее расслоение над
X. Пусть i/о и Е) - два векторных расслоения над X размерности
соответственно и и т. Поетроим векторное раеелоепие
называемое в дальнейшем телом НК-суперрасслосния (см. ниже Определение
3.7.1) или просто НК-еуперраеслоением.
Типичным слоем НК-суперрасслоения Q является векторное пространство
где В" и В\ - типичные слои соответственно векторных расслоений Еп и Е\.
Типичный слой V (3.115) может быть наделен структурой суперпространства
В'^т над алгеброй Грассмана Л = ARA. Эго градуированная оболочка
градуированного векторного пространства В = Во (D В\, где Во и В\
рассматриваются соответственно как четное и нечетное подпространства В.
НК-супсррасслоение Q наследует эту градуировку, поскольку функции
переходов векторных расслоений Е0 и Е\ взаимно независимы, тогда как
функции перехода кокасательного расслоения Т*Х сохраняют Z-градуировку
алгебры Грассмана ЛМА'.
Вто же время НК-супсрраселосние (3.114) не является еупервекторным
расслоением над X, поскольку ею функции перехода - не морфизмы Л-модулей.
Очевидно, что НК-сулерраеслоение Q можно рассматривать как тензорное
произведение векторного расслоения Е и внешнего расслоения ЛТ'Х,
определяющего простое градуированное многообразие (X, 12*), где 12* -
пучок внешних форм на X. Как уже отмечалось, векторное расслоение V/.;
градуированных векторных полей и векторное расслоение V# градуированных
1-форм (см. §3.2) имеют локальную структуру НК-раеслоения (см. локальные
изоморфизмы (3.19) и (3.36)).
Обозначим Q(X) и Qx соответственно пространство глобальных сечений НК-
суперрасслоения Q и пучок его сечений. При этом ясно, что Q(X) = Qx(X),
Пространство Q(X) имеет естественную структуру локально свободного
(7х(if)-модуля, тогда как Qx - это локально свободный пучок С*-модулей
ранга Is(п 4- т). В то же время, имея в виду, что (ДГ, 12*) -
пространство локальных градуированных колец, можно снабдить пространство
(3.114)
К = Л1А (r){Во(r)В\),
(3.115)
<?(*) = 12* (2Г)(r)Я(Д0 структурой градуированного локально свободного
12*(ДГ)-модуля, а
Qx = <?% (r) AR* (r) В = 12* (r) В
§ 7. Суперсвязности Неемана-Куилена
71
- структурой локально свободного пучка -модулей ранга (п + т). Обозначим
Q(X) и Qx. наделенные упомянутыми выше структурами, соответственно как
Q{X) и Qx.
Омркдклкпиь 3.7.1. Пара Q- (Q,Q(X)) (или пара (Q,QX)) называется
суперрас-слоением Неемана-Куилена или НК-суперрасслоением. ?
Пусть U С X - область тривиализации векторного расслоения Е - X и {с,!} и
{с,} - послойные базисы соответственно векторных расслоений Е{, и Е\ нал
U. Тогда всякий элемент q й Q(X) имеет вил
q = qACA + q'ci,
где qA, ql - локальные внешние формы на U. Элемент q является однородным,
если его грассманова степень удовлетворяет соотношениям
ы = 1У4] = 1У] + I, [g*4] = 1^1 mod 2, [?'] = |g'| mod 2.
При выборе другой области тривиализации U' С X расслоения К
соответствующие функции перехода имеют вид
4А = рияа, q* = pw. (3.116)
где рц, pj - локальные гладкие функции на U П U'. Мы будем называть
тройку (U',qA,q') вместе с функциями перехода (3.116) областью
тривиализации НК-супсррасслосния Q.
Связность на НК-суперрасслоении (Q,Q(X)) может быть введена в
соответствии с Определением (1.2.2). Легко видно, что в случае кольца
1)*(ЛГ) дифференцирование <il в Предложении 1.1.6 - это в точности
внешний дифференциал d.
Ош'ьдьльниь 3.7.2. Связность на НК-суперрасслоении (Q,Q(X)), называемая
IIК-суперсвязностыо, определяется как морфизм
V: Q(X) - Q(X), который удовлетворяет правилу Лейбница
V(0g) = (^)g + (-l)l/l/V(g), Vg € Q(X), У*6П*(ЛГ). (3.117)
?
Следует подчеркнуть, что НК-суперсвязность определяется как связность на
n*(JT)-Mo;iyae Q(X), а не С^(Х)-модуле Q(X). Поэтому она не является
обычной связностью на гладком векторном расслоении Q -* X.
Правило Лейбница (3.117) предполагает, что НК-суперснязность представляет
собой нечетный морфизм. Например, на тривиальном расслоении Е X
