Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
является аффинным, и поэтому когомологии Дс Рама JTY совпадают с
когомологиями Де Рама базы Jr~[Y этого расслоения. Отсюда следует, что
группы когомологий Ят(П*х), т > 0, коцепного комплекса (4.27) изоморфны
группам когомологий Де Рама H'n{Y) расслоения Y.
Хотя мы не обсуждаем структуру многообразия на пространстве струй
бесконечного порядка, элементы прямого предела Sl%. могут быть следующим
образом записаны в координатной форме. Пусть (U\xx,y%) - координатная
карта расслоения Y -> X на области U С Y. Рассмотрим соответствующие
области
иг = (гг ъу\и)
в многообразиях струй JrY -* Y. Повторяя изложенную выше процедуру для
модулей iY(Ur) внешних форм на областях Ur, мы получим их прямой предел
П^,(?7). Для каждого г определен гомоморфизм Ж-модулей
iUr*: Sl*r -г SI*(Ur),
который сопоставляет всякой внешней форме на JrY ее ограничение на Ur.
Тогда существует гомоморфизм Ж-модулей
Ч*'- П* - SIUU)
такой, что диаграммы
п* - п;,
Ч',.' <>-
si*(uT) - пци)
коммутативны для любого г |9j. Элементы могут быть представлены в обычной
координатной форме.
Для данного атласа {(?7; хА, j/1)} послойных координат на Y -> X
рассмотрим векторное пространство внешних форм на струях
бесконечного порядка для
каждой координатной карты (U;xx,y') этого атласа. Всякий элемент ф
пространства однозначно определяется набором элементов {фи} из
пространств П^(Я) вместе с соответствующими координатными законами
преобразований. В дальнейшем мы будем использовать координатные выражения
внешних форм на струях бесконечного порядка без упоминания координатной
области U. Можно считать, что если тот или
84
Глава 4. Связности в БРСТ-формализме
иной объект задан в координатной форме как элемент каждого пространства
П^(?Г) с соответствующими преобразованиями перехода, то он глобально
определен.
В частности, горизонтальные 1-формы dxx и контактные 1-формы (4.18)
образуют локальный базис фильтрованного 12^-модуля 1-форм на пространстве
струй бесконечного порядка J*Y. Более того, горизонтальные 1-формы dxx и
контактные 1-формы $\ имеют независимые законы координатных
преобразований. Поэтому существует каноническое расщепление
п'к = П'41 Ф fi"' (4.28)
модуля I-форм на фильтрованные подмодули П1*1 и it\ раздельно порождаемые
горизонтальными и контактными формами. Это расщепление можно
интерпретировать как каноническое горизонтальное расщепление. Оно
аналогично как горизонтальному расщеплению кокасательного расслоения к
расслоению Y -> X посредством связности (см. (1.68) в первом томе [II]),
так и каноническому горизонтальному расщеплению (4.24) 1-форм на
многообразиях струй конечного порядка. Поэтому можно считать, что
расщепление (4.28) представляет собой каноническую связность на
пространстве струй бесконечного порядка J°°Y.
Каноническое горизонтальное расщепление (4.28) порождает соответствющее
расщепление модулей т-форм
n? = nSim(r)nJ^l'e...(r)n?,0> (4.29)
где элементы ilk,s~k называются к-контактными формами. Обозначим /ц- к-
контактную проекцию
hk: m~k, k^m. (4.30)
В частности, мы имеем каноническую проекцию
h0: -> П"га, V m > 0, (4.31)
h0(dxx) = dxx, = ylfixt.. .A, dx^,
называемую горизонтальной проекцией.
Соответственно внешний дифференциал d на внешней алгебре раскладывается
в сумму
d = df{ -Г dy (4.32)
горизонтального дифференциала d# и вертикального дифференциала dy,
которые определяются следующим образом:
d: it* - "1+|''фВ^+|,
dy it* - dH\ilk^ = pr2 о d|f2*',
dy. Sl% - '¦*, dy |П^ = рг, о d|"?*,
для всех s < n и всех k. Дифференциалы dH и dv удовлетворяют соотношениям
dH(4> A cr) = dH(4>) A a + (- 1)I0|0 A dH(a),
dy((pAo) = dy((/)) Ла+ (-\)^ф Ady(o), oc'
и являются нильпотентными:
d{{ о djj = 0, dy о dy - 0, dy о djj -1- dff о dy - 0. (4.33)
Приведем важное равенство
ho о d = djj о ho.
§ 1. Связность на струях бесконечного порядка
85
Горизонтальный дифференциал может быть записан в виде
Лнф = dxx Л (4.34)
где
dx = d% = дх + ^2 у'\ ^ = дх + у'\0, + у\рд\ + ... (4.35)
0<|Л|
- полная производная на струях бесконечного порядка. Следует
подчеркнуть, что, хотя
сумма в выражении (4.35) берется по бесконечному семейству мул ьти
индексов Л,
оператор (4.35) хорошо определен, поскольку для любой внешней формы ф ?
0^ выражение дх(ф) содержит только конечное число ненулевых членов дх.
Полные производные удовлетворяют соотношениям
й\(ф Л tr) = й\(ф) А а + ф A dx(cr), йх(йф) = й(йх(ф)), [<2Л,Ф,] = 0.
В частности,
dxif) = dxf + y\dif + y^dff + ..., / € C^(J^Y),
dx{dxp) = 0, d\{dy\t' a,) = dy\x,...Xl-
В отличие от частных производных дх, полные производные имеют линейный
закон координатных преобразований
, дх11
dx = d^d"-
Приведем некоторые полезные соотношения для операторов и dy:
dHf = dxfdxx, dyf = dxfei fenl,
dH(dx>') = 0, dv(dx') = 0,
dH(6i) = dxx Л01+Л, dv(6\) = О, <К|Л|.
Обратимся теперь к понятию канонической связности на пространстве струй
бесконечного порядка J^Y. Для произвольного векторного поля т на
многообразии X определим морфизм
