Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
существует тривиальная НК-суперсвязность V = d. Пусть Гц и Г| будут
линейные связности соответственно на векторных расслоениях Ещ и Е\ч а Г"
(В Г| - линейная связность на расслоении Е -*¦ X. Тогда ковариантный
ди<|)ференциал V1 относительно связности Г является НК-суперсвязностью
V*(g) = (dxXAdb-r)(q). (3.118)
На области тривиализации U НК-супсррасслоения НК-суперсвязность (3.118)
имеет вид
V'(g) = (dqA - dxx А ТохЛвЧ°)са + (dq' - dxx А Г|ЛУ )<*, (3.119)
где Гщ^о, Г|А'у - локальные компоненты связностей на U с обычными
законами преобразований относительно функций перехода р? и р) векторных
расслоений Е" и Ei соответственно.
72
Глава 3. Суперсвязности
Как следствие правила Лейбница (3.117) Н К-суперсвязности на НК-
суперрасслое-нии образуют аффинное пространство, моделируемое над
П*(Х)()-модулем End (<?(Х)), нечетных эндоморфизмов Q(X), т.е.
V' = V + I, (3.120)
где L - нечетный элемент из End (Q(X)).
Легко видно, что 12*(2Г)-модуль End(Q(2f)) является Сх(2С)-модулсм
сечений векторного расслоения
ЛТХ^ЕфЕ* -> X. х х
На области тривиализации U НК-суперрасслоения Q всякий элемент из
End(Q(X)) представим суперматрицей
(3.121)
_ (L\ М
~\Li L*)'
компоненты которой являются локальными внешними формами на U. Закон
преобразования этой суперматрицы при морфизмах перехода (3.116) имеет вид
L' = pLp-\ где р - это (п + т) х (п + т)-матрицы
(3.122)
компонентами которых служат функции перехода рд и р).
В соответствии с выражением (3.120) всякая НК-суперсвязность на области
тривиализации НК-суперрасслоения Q может быть записана в виде
V=d+tf, (3.123)
где 1? - локальная нечетная суперматрица (3.121), т.е. ее компоненты т?i,
являются нечетными внешними формами, а компоненты т?2" - четными
внешними формами.
Ясно, что разложение в сумму (3.123) не сохраняется при морфизмах
перехода (3.116),
и мы имеем закон преобразований
•в1 = рдр ] - dpp~\
где dp - суперматрицы, компонентами которых являются 1-формы dpg и dp'j.
В соответствии с Определением 1.2.5 кривизной НК-суперсвязности V
является морфизм
R = V2: Q(X) -> Q(X). (3.124)
Естественно, что кривизна тривиальной Н К-суперсвязности V = d равна 0.
Кривизна Н К-суперсвязности V1 (3.119) имеет вид
R(q)
_ ({Rb/edx*/\dx>'/\qBcA 0 \ . >
"v 0 iRxfijdx*' A dx^ Aq*Ci,) ' ( '
где Rxf,Ao, Rx/j - компоненты кривизны линейных связностей Г() и Г|
соответственно. Если задано локальное разложение (3.123) Н К-
суперсвязности V,ee кривизна (3.124) представима в виде суммы
i* = d(tf) +1?2 (3.126)
§ 7. Суперсвяэности Неемана-Куилена
73
и имеет закон преобразований R' = pRp 1 при морфизмах перехода (3.116).
Отсюда следует, что кривизна НК-суперсвязности является четным
эндоморфизмом f2*(.Y)-модуля Q(X).
Замечание 3.7.1. Понятия НК-суперрасслоения и НК-суперсвязности
естественным образом распространяются на случай комплексного векторного
расслоения Е -* X и внешней алгебры С (r) iT(X) комплексных внешних форм на
X. ?
Теперь остановимся коротко на следующих двух приложениях НК-
супсревязностей.
Первое касается объединенных моделей в физике высоких энергий (см. (104,
123, 124, 133]). Пусть Ей - векторное расслоение со структурной группой
G, интерпретируемой в качестве группы внутренних симметрий в теории
частиц (например, SU(2)), a JS| -> X - линейное расслоение. Тогда
типичным слоем НК-супсррасслое-ния Q (3.114) является суперпространство
Б"'1. Пусть А - ассоциированная связность на расслоении Е{) -> X, т.е. ее
компоненты Арх - калибровочные потенциалы, отвечающие группе Ли G.
Рассмотрим НК-суперсвязность, являющуюся суммой
v = va + l
НК-суперсвязности VA(q) (3.118) и нечетного эндоморфизма
где ф является скалярным полем, интерпретируемым как хиггсовское поле.
Физическая идея этой модели состоит в том, что калибровочные потенциалы и
хиггсовское поле рассматриваются вместе как компоненты одной и той же Н
К-суперсвязности.
Замечание 3.7.2. Следует подчеркнуть, что авторы [104, 123, 124] следуют
правилу умножения суперматриц
(А С\ ( А! С'\ _ [A A A' + (-\)lD'lCAD' АлС' + (-\)WC ЛВ'\
\D В ) \D' В'J V (- 1)I'4,jD A A' + BAD' AC'+ В ЛВ') '
Это умножение не удовлетворяет соотношениям (3.6), (3.7). ?
Второе применение НК-суперсвязностей, которые мы здесь упомянем, связано
с вычислением характера Чженя [105, 115, 131]. На НК-суперрасслоении Q
(3.114) рассмотрим НК-суперсвязность
V = Vr + <?, (3.127)
где V1 - НК-суперсвязность (3.119), L - нечетный элемент End (Q(X)) и t -
вещественный параметр. Кривизна (3.124) НК-суперсвязности (3.127) имеет
вид
R = t2L2 + t[Vr,L} + (Vr)2,
где (Vr)2 - кривизна (3.125) НК-суперсвязности V1 (3.119). Запишем
ch( = Str(exp{*}) =]rStr((Vl' + L)2*). (3.128)
4=0
Этот ряд сходится, поскольку R является сечением расслоения конечномерных
алгебр над X. Нетрудно убедиться, что
ch(=0 = ch(?'o)-ch(?,i), (3.129)
где ch(.Bo), ch(?!,) - характеры Чженя (см. формулу (3.57) в первом томе
[II]) комплексных векторных расслоений Eq и Е\ (с точностью до
нормировочного множителя */2тг). Выражение (3.129) - это характер Чженя
