Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4" -> 46

Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 — М.: УРСС, 2000. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaikvantoviepolya2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 75 >> Следующая

^ к, с функциями перехода
Ct^=dx(p'qCl), (4.63)
где
йк = дк + с^ + с1щ + ---
- градуированные полные производные (сравните с (3.103)). Вид функций
перехода (4.63) позволяет интерпретировать базисные элементы Сд этого
градуированного многообразия как струи духовых полей. Однако еще раз
напомним, что Сд не являются струями градуированных расслоений,
описанными в |136|.
Пусть
Е Л- J'E <-------... < Jr~'E ^-JrE <----------... (4.64)
- обратная система многообразий струй и J°°E - ее проективный предел.
Естественная проекция
JrE-+Jr~'E
порождает соответствующий мономорфизм внешних М-алгебр
AJr~'E* - АУЕ* (4.65)
и эпиморфизм (3.24)
Sir'-,: .ЕЕг > 0, (4.66)
градуированных многообразий. Морфизмы (4.65) и (4.66) определяют
соответственно прямую систему внешних алгебр
А Е" --->... A JrE* --->... (4.67)
и обратную систему градуированных многообразий
Ё i ЕЕ <-------... < Г^Е .... (4.68)
Прямая система (4.67) имеет прямой предел AJ^E* в фильтрованных
эндоморфизмах. Он состоит из элементов, индуцированных на J°°E элементами
внешних алгебр AJkE*, к - 0, 1,... . Этот прямой предел определяет
проективный предел J^E обратной системы градуированных многообразий
(4.68). Пара JXE = (X, А^Е*(Х)) может рассматриваться как градуированное
многообразие, а элементы его структурного модуля AJ°°E*(X) - как
градуированные функции на X. Их коэффициенты - гладкие функции на X.
Чтобы ввести внешние формы на этом градуированном многообразии, возьмем
прямой предел прямой системы фильтрованных AJkE*(X)-алгебр
ADer*(AjtS*)(JT)
градуированных внешних форм на градуированных многообразиях JkE
относительно естественных мономорфизмов
ADer*(A-E*)№ > ... >ADer*(AJt^*)(X) > ... .
§ 3. Струи духов и антиполей
93
Этот прямой предел ЛОег*(aJx?')(X) состоит из градуированных внешних форм
на градуированных многообразиях JkE по модулю указанных мономорфизмов.
Это локально свободная фильтрованная АОсг*(л,/*:.Ь'*)(Л')-алгебра,
порождаемая элементами
(I, dx\ в\ = dC\ - CTXxSdxx), 0 s? |A|,
которые удовлетворяют обычным правилам действия с градуированными
внешними формами (см. §3.2). Аналогично разложению (4.29), пространство
Д Der *(aJ°° ??*)(*) градуированных fc-форм раскладывается в прямую сумму
подпространств
A^,:'Der*(A J*E*)(X)
(к - г)-контактных форм. Соответственно фадуированный внешний
дифференциал d
к
на алгебре Д Der * (aJ^ Е*)(Х) допускает разложение d = d# + dv, где
градуированный горизонтальный дифференциал с1ц имеет координатный вид
дн{ф) = dxx Адх{ф), фе ADer*(AJxE*)(X).
Градуированные дифференциалы d# и dy удовлетворяют условиям
нильпотентности (4.33). Поскольку всякий элемент ф € ADer*(AJ00^*)(A')
является фадуированной
формой на некотором градуированном многообразии JkE конечного ранга,
выражение для дх(ф) содержит конечное число членов.
Подобно тому как это было в предыдущем параграфе, мы можем интерпре-
тировать горизонтальный дифференциал d# как каноническую связность на
алгебре ADer*(A ^Е*)(Х).
Алгебра ADer* (aJ(tm)E*)(X) дает нам все, что необходимо для
дифференциального исчисления на духовых полях. Градуированные формы ф Е
ADer*(AJ,cJ?*)(Ar) ха ра ктер изу юте я:
• Z-градуированным духовым числом gh (ф) таким, что
gh (Сд) = I, gh (dCx) = 1, gh [dxx) = 0, gh (/) = 0, /еГ(1);
• духовой грассмановой четностью \ф\ = gh (ф) mod 2;
• обычной степенью внешних форм \ф\ и соответствующей грассмановой
четностью \ф\ mod 2;
• полным духовым числом
gh Т(ф) = gh {ф) + \Ф\.
Обратимся теперь к когомологиям алгебры ADer * (aJ°°E*)(X). В
соответствии с Замечанием 3.2.6 группы градуированных когомологий Де Рама
градуированных многообразий ADer*(AJkE*)(X) конечного ранга совпадают с
группами когомологий Де Рама многообразия X, и то же самое относится к их
прямому пределу. Согласно Теореме 4.1.4 этот предел представляет собой
группы градуированных когомологий Де Рама алгебры ADer *(а^Е*)(Х). На эту
алгебру также может быть распространена Теорема 4.2.2 (см. работу [42| и
цитируемую в ней литературу).
Теорема 4.3.1. Если фадуированная горизонтальная (0 < к < п)-форма ф
является локально йд-замкнутой, т.е. днф = 0, тогда она - локально dn-
точная, т.е. существует фадуированная горизонтальная (к - 1)-форма а
такая, что ф = dHa. Градуированная горизонтальная n-форма ф является
локально точной тогда и только
94
Г лава 4. Связности в БРСТ-формализме
тогда, когда 6 = ?\(ф) = 0, где ?\ - оператор Эйлера-Лагранжа (4.49),
обобщенный на градуированную внешнюю алгебру. ?
Как уже отмечалось, помимо физических полей (р' с нулевым духовым числом
и духов Ст, БРСТ-теория содержит духи для духов и антиполя (см. [80| в
качестве обзора). В общем случае Х-уровневая приводимая теория включает L
поколений духов для духов C'i ,1 - 1,..., L, характеризуемых следующими
духовыми числами и духовыми грассмановыми четностями:
Нечетные духи для духов могут быть введены в той же манере, что и духи
выбором соогветствющего векторного расслоения Е. Обозначим поля, духи и
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed