Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
результате
88
Г лава 4. Связности в БРСТ-формализме
мы приходим к коммутативной диаграмме О О
Ker/i() -Ker/io -Кеге; -d-> Kere2
П"_|
a too
ho
n"
qO,"-I dll a too v 'b'X
0
0
n"
e\
Д,
0
n
СI
Ei
0
(4.40)
Ее вторая строка представляет собой комплекс Де Рама, а ее первая строка
- подкомплекс этого комплекса. Поэтому последняя строка диаграммы (4.40)
-±-
0 -----> К * П"
тоже коцепной комплекс, т.е.
с I ° dfi = 0,
(¦)<>,n f|
* - bor,
¦Ei
?к+\ О?к=0.
Он называется спектральной последовательностью. Поскольку Ек С П!
морфизмы ек комплекса (4.41) имеют вид ?к = Tkod.
Построим морфизмы ?к в явном виде [34, 78, 149]. Положим
п = ^т|ге,
где т - оператор, задаваемый координатным выражением
т(0) = (-!)'%¦ Л л ф)}, 0 < |Л|,
и действующий на контактные плотности ф ? П^,". Тогда получаем
,к,п
(4.41)
(4.42)
коцепные
?к=ТкО<1- -6,
где
6 = т о d
- вариационный оператор [34, 78], являющийся нильпотентным:
6 о 6 - 0, 6 о dH = 0.
Поскольку столбцы диаграммы (4.40) - простые точные последовательности,
можно рассматривать спектральную последовательность (4.41) как
подкомплекс коцепного
(4.43)
(4.44)
(4.45)
комплекса 0 >
ои
Лн
q0,o-1 йн q() ,п
. . . i Crr, > i t
п
|,П
п
2,п
(4.46)
который называется вариационной последовательностью.
В частности, пусть
ф = ф№лше П^п - I-контактная плотность. Получаем
Т\{ф) = (-1)|Л|<*л(<^К Аш-
(4.47)
§ 2. Вариационный бикомплекс
89
Это выражение показывает, что подпространство Е\ С П,"" состоит из 1-
контактных плотностей ? = ?,0' Л ш, которые принимают значения в
тензорном расслоении
ТУ a{J\Tx}. (4.48)
Пусть
- горизонтальная плотность. Тогда коцепные морфизмы ?| и ?2 принимают вид
е,(Сш) = (~1)тЛА(д?С)б{ А и, (4.49)
?2(Ьв' /\w)=X- [dj?te{ Л 0* + ( - 1)|Л|07 Л dA (djSid')] Л ш,
где суммирование ведется по всем мультииндексам 0 < |Л|. Они называются
соответственно оператором Эйлера-Лагранжа и оператором Гельмгольца-
Сонина. Напомним, что L является фактически горизонтальной плотностью на
многообразии струй JTY некоторого конечного порядка г. Поэтому можно
рассматривать L как лагранжиан порядка г. Внешняя форма
?i=et(L) = 6(L), (4.50)
?l = (-1 )тйл{д?с)е> ли, о < |Л| ^ г,
именуется формой Эйлера-Лагранжа, ассоциированной с лагранжианом L. Эта
форма представляет собой дифференциальный оператор порядка 2г
?,/. J2tY -*TY Л (/\Тх), (4.51)
также называемый оператором Эйлера-Лагранжа для лагранжиана L. В
частности, если L - лагранжиан первого порядка на многообразии струй J'Y,
оператор (4.51) - это привычный оператор Эйлера-Лагранжа второго порядка
(А. 15) из первого тома [ 11J. Более того, в силу Леммы 4.2.1 имеет место
каноническое разложение
dL = T\(dL) + (Id - Tt)(dL) = 6(L) + dH(<p), ф e (4.52)
которое представляет собой первую вариационную формулу для лагранжианов
высших порядков. В частности, если г = 1, получаем первую вариационную
формулу (А. 14) из первого тома [11] в случае вертикального векторного
поля и на расслоении Y -> X.
Спектральная последовательность (4.41) приводит к следующему варианту
известной обратной задачи вариационного исчисления. Дифференциальные
операторы, принимающие значения в тензорном расслоении (4.48), называются
операторами типа Эйлера-Лагранжа. Это элементы подпространства Е\ С
Оператор типа Эйлера-Лагранжа ? именуется локально вариационным
оператором, если
Ы?) = \т=о.
Из равенств (4.42) следует, что любой du-точный лагранжиан (т.е. L =
dffф) является вариационно тривиальным и что всякий оператор Эйлера-
Лагранжа - это локально вариационный оператор.
Препятствия для того чтобы локально вариационный оператор был бы
оператором Эйлера-Лагранжа, характеризуются нетривиальной группой
когомологий
Нп+{ = Кег?2/ 1т?|
90
Глава 4. Связности в БРСТ-формализме
комплекса (4.41) и элементе JbV Поскольку столбцы диаграммы (4.40) - это
точные последовательности, имеет место следующая точная
последовательность групп ко1 омологий строк этой диаграммы, обозначаемых
соответственно г|, и г\ |8|:
... Я*(гз) -" Я*(г2) - Я*(Г|) -> - • • • •
Г югкмл 4.2.2. (57, 149|. Гели
Г = !КЬ" Г, спектральная последовательность (4.41) является точной, т. е.
Kcrrf// = \mdfi, Ксг ег| = lm dH, Ime* = Кеге*и.
а
Эта теорема показывает что комплекс (4.41) и, следовательно, комплекс
(4.46) являются локально точными.
Следствие 4.2.3. Поскольку париационная последовательность (4.46)
локально точная, горизонтальная плотность L ? Г!'х вариационно тривиальна
тогда и только тогда, когда она является <1ц -точной. Отсюда следует
взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности локальных
горизонтальных плотностей L по модулю dn-точных форм и элементами
множества im е\ = Кеггт. ?
Следствие 4.2.4. Рассмотрим коцепной комплекс
0 ---> Е----> П'4' n'v 0. (4.53)
Он является локально точным во всех элементах, кроме последнего. Его
группа когомологий в этом элементе равна
(4.54)
?
§ 3. Струи духов и антиполей
Помимо физических полей, БРСГ-теория включает духовые поля (или просто
