Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
духи для духов общим символом ФА, А = IАнтиполя имеют следующие духовые
числа и духовые грассмановы четности:
бором векторного расслоения Е = У*, дуального к расслоению У, сечения
которого характеризуют поля ФА. Отметим, что калибровочные потенциалы
представляют собой сечения аффинного расслоения С -> X (4.56),
моделируемого над векторным расслоением Т*Х (r) Vc,P¦ Их нечетные антиполя
моделируются над векторным расслоением Е = ТХ <8> V?P-
Полная система полей и антиполей называемая классическим базисом
БРСТ-теории, описывается поточечным внешним произведением над X
Сх( 37)-алгебры iY(J(tm)Et)) четных элементов классического базиса и
С0С(^Г)-алге-бры ADer*(AJ'xi5*)(Jf) его нечетных элементов. Внешняя
алгебра Q* (4.69) наделена внешним дифференциалом d, который является
суммой над X внешних дифференциалов на f2*(JxJSo) и ADer*(AJx?J|)(3f).
Соответствующий горизонтальный дифференциал dH можно интерпретировать как
каноническую связность на алгебре Q'. F.e подмодуль gk А;-форм
расщепляется на подпространства Qk~*A (к - г)-контактных форм. Следуя
принятой в физической литературе терминологии, мы будем называть элементы
0°'* локальными формами.
Существенно, что Теоремы 4.2.2 и 4.3. J справедливы для локальных форм /
6 0']'г ¦ Следовательно копейной комплекс
Замечание 4.3.2. Следуя принятой практике, мы будем в дальнейшем
применять операторы правых производных
gh (С!) = gh (Cr) +1, [CJ] = ([Cr] + I) mod 2.
О* = n*(j*E") A(ADer'(A/x^)(2f)) х
(4.69)
Ш
1/
(4.70)
имеет группы когомологии
л°(0*) = к, нп<к<п(д*) = о, н'\д*) ф о.
(4.71)
такие, что
§ 3. Струи духов и антиполей
95
Левые производные di/d( - это те производные, которые использовались до
сих пор. Символами 6t и 6Г обозначаются левые и правые вариационные
производные, задаваемые коэффициентами оператора Эйлера-Лагранжа (4.49).
?
Пусть /,/' € (7° - градуированные функции. Благодаря локальному
изоморфизму их антискобки определяются как
с;" э / /ш € да'н
it t'\ _ rJ lJ ТJ U / i пл\
(/, / )дв - -^1 7ХГ - T^TTZa- (4-72)
6rf 6,f 6rf 6tf
6Фл 6Ф*Л 6ФА 6Ф
При этом
gh ((/, /')лв) = gh (/) + gh (/') + *- [(/, /')АВ] = (f/l + f/'l f I)
mod 2.
Замечание 4.3.3. Легко видно, что фактически антискобки (4.72) задаются
на элементах групп когомологий Hn(Q*) (4.71) комплекса (4.70). Они
соответствуют локальным функционалам
/
}ш
с точностью до поверхностных интегралов. В то же время антискобки,
определяемые на локальных функционалах, предполагают более изощренную
геометрическую интерпретацию антиполей |97, 155). ?
Антискобки (4.72) обладают свойствами градуированных скобок Пуассона
(/• (/'• Л,.).. + (- |),|,н "'|Л'|ЛЧ(/'. Л," /)л. +
+ 1 '' '''"((Г. ¦ '>.
где градуировкой /, /' и f" считается их грассманова четность плюс I. В
частности, (/, /)ав = 0, если / нечетно, и
b,.f 6,f
(/, /)дв = 2
ЙФ'4 (5Ф^, '
если / четно. Можно написать
_ 6rf Jlh6tf
7 ~ /)?al
где wab является градуированным пуассоновым бивектором. Легко видеть, что
базис {Ф'*, ФА } является каноническим для пуассоновой структуры (4.72).
В этом базисе градуированный пуассонов бивектор w имеет вид
\f'f )дв - ' (4-72)
-( 0 6 В \
W о)-
Пусть S ? д°'п - локальная плотность с нулевым духовым числом. Уравнение
6rS 6,S
96
Глава 4. Связности в БРСТ-формализме
называется классическим основным уравнением. Если интерпретировать S в
качестве лагранжиана классического базиса {("} полей и антиполей,
уравнения
имеют смысл уравнений движения. Уравнения (4.75) не являются
независимыми, а удовлетворяют соотношениям
Л 'ТЭЯ ас
7Сь = О, ТС;, = W г, (4.76)
6(а 6(С6(Ь
которые показывают, что решение S основного уравнения (4.74) обладает
калибровочной свободой.
Решение S основного уравнения (4.74) называется приемлемым решением, если
ранг хессиана
d,OrS
дС'дС
в стационарной точке Qn, где выполняются уравнения движения (4.75), равен
N. Объяснение простое. Если S - приемлемое решение, можно использовать
вышеупомянутую калибровочную свободу для того, чтобы исключить все
антиполя.
Мы сошлемся на работы [68, 69, 80) и приведенную в них литературу по
проблеме существования и единственности приемлемого решения основного
уравнения. Отметим только два его свойства.
(i) Приемлемое решение S может быть разложено в степенной ряд по
антиполям так, что
5|ф=" = Ьс |
является лагранжианом классических полей <рг. Это разложение может быть
представлено как разложение по антидуховым числам, определяемым как
antigh (фд) = - gh (фд) = gh (Ф4) + I, antigh (фА) = 0.
(и) Пусть S - приемлемое решение для классического базиса (ф^Фд).
Рассмотрим два новых поля Ф] и Ф2 с духовыми числами
ёИФг) = gh (Ф,) + I,
и пусть Ф| и Ф2 - соответствующие антиполя. Тогда S + Ф*Ф2 является
приемлемым решением для классического базиса (ф4, Ф|, Ф2, Фд, Ф*, Фг).
Говорят, что (Ф|,Ф2) - тривиальная пара. Тривиальные пары могут быть
добавлены к классическому базису при сохранении классического основного
уравнения и его свойств. Они возникают при фиксации калибровки и
