Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
антидуховое число, соответствующее разложение полного БРСТ-оператора
имеет вид
?=" + 7 + ?**> 7 = 7 + dH-
кр\
Оператор <5, называемый дифференциалом Косзула- Тейта, нильпотентен. Он
отличен от нуля только на антиполях:
<5ФЛ = 0, Sip* = ....
r дц>1
Оператор 7 задает калибровочные преобразования, параметрами которых
служат духовые поля:
7 <р' = КСГ, К = (4"")
*+"
Смысл разложения (4.87) состоит в ацикличности дифференциала Косзула-
Тейта 6 на локальных функциях с положительными ангидуховыми числами, т.
е. равенство 6фк - 0 (antigh (фк) = к) предполагает, что фк = 6сгк+\ (см.
подробности в [68, 69|). Отсюда можно сделать вывод, что I-неточное
реигение ф уравнения ?</!> = 0 с необходимостью содержит не зависящую от
антиполей компоненту фа такую, что
уф0 ~ 0, ф0 ф 7 а + const, antigh (ф0) = 0. (4.89)
Здесь и обозначает слабое равенство, т. е. а() " 0 (antigh (а") = 0)
тогда и только тогда, когда существует at (antigh (а,) = 1) такое, что а0
- Sat. Более того, любое решение фа уравнения (4.89) может быть пополнено
до s-замкнутой неточной локальной формы ф такой, что различные пополнения
с одной и той же не зависящей от антиполей составляющей принадлежат
одному и тому же элементу s-когомологий. Отметим, что
?7 + 7,5 = 0, у2 = -(6s\ + "|6), т.е. оператор 7 слабо нильпотентен. Тем
самым мы пришли к следующему результату.
Предложение 4.4.2. [42]. Когомологии полного БРСТ-оператора ? на
локальных формах изоморфны слабым когомологиям оператора 7 на не
зависящих от антиполей локальных формах. ?
100
Г лава 4. Связности в БРСТ-формализме
Поэтому, говоря о когомологиях, можно ограничиться рассмотрением
локальных форм, свободных от антиполей. Предположим, что существует
локально обратимое преобразование координат от классического базиса (Ф^),
не зависящего от антиполей, к базису {Ul, V1, W!) с неотрицательным
духовым числом такому, что
ju' = vl, w{ = R'(w)-
Пара (U1, V1) называется тривиальной. Не ограничивая общности, можно
также предположить, что все элементы Ul, V1, W' имеют определенное полное
духовое число. Обычно U1 представляют собой компоненты калибровочных
потенциалов и их струй, тогда как V1 = jUl (см. ниже Примеры 4.4.1 и
4.4.2).
Прьдложышк 4.4.3. [42]. Если
Ши, у, W)" о,
тогда
Ши, I/, W) " + 7a(U, V, W),
т.е. тривиальные пары могут быть исключены из слабых -у-когомологий. П
Обозначим Г1, Сг' и QLi те элементы W\ которые характеризуются полными
духовыми числами 0, 1 и к > 1 соответственно. Элементы Т\ называемые
БРСТ-тензор-ными полями, представляют собой локальные 0-формы, тогда как
CL и QLl в общем случае раскладываются в сумму локальных форм с
ненулевыми степенями
CL = CL + Al, (4.90)
cL e g\ gh (cl) = i, a1 e g°'\ gh (д?) = o,
к
Ф=^2Ф, (4.91)
r-"
Ф e g°\ gh (Ф)=к-г.
Поскольку оператор 7 повышает полное духовое число на 1, мы
можем написать
jT' = ClAlT1, Al=R'l~, (4.92)
r_nicv|_
JC!' = CNCMfrMN(T) + Qm'Zlm, (4.93)
для некоторых функций R, f и Z тензорных полей Т.
Благодаря разложениям 7 = 7 + dH и (4.90), равенство (4.92) распадается
на равенства
-уТ1 = ChALT\ (4.94)
dxTl = AxALTl, Al = dxxALx. (4.95)
Поскольку соотношение (4.95) выполняется тождественно, оно
предполагает расщепление оператора полной производной
dx = v?V?(d" - А;Ат) + А\АТ (4.96)
и соответствующее расщепление наборов
Мд} = КМд}. (Дт} = К;Дг},
§4. БРСТ-связность
101
где v?V? =6>' и
Д" = КС(^-^Дг).
Тогда равенство (4.94) приводится к виду
уГ = [CrAr + CmV,- Л;,Аг)}Т1. (4.97)
Соответственно оператор у (4.92) принимает форму
уТ1 = (CmDm + CrAr)Tl. (4.98)
Из-за этой формы величины {С^} называются обобщенными связностями, или
БРСТ-связностями [42, 111].
Следующие два примера показывают, что такое название связано с обычным
понятием связностей, используемых в физических моделях.
Пример 4.4.1. Рассмотрим снова калибровочную модель Янга-Миллса на
главном расслоении со структурной группой G. Тривиальными парами в ней
являются
{tf'} = K+A, <К|Л|}, {7'} = {7t/'}.
БРСТ-связности имеют вид
{CL} = {dxx\ Cr =Cr + da:VA}.
Получаем следующие операторы Д (4.92), отвечающие этим БРСТ-связностям:
{At} = {&\ = d\~ йдСг; er},
где {er} - базис алгебры Ли g; группы Ли G. Полное семейство БРСТ-
тензорных полей Г' состоит из алгебраически независимых компонент
напряженности Яд/( и ее ковариантных производных а
Пример 4.4.2. В метрической теории гравитации БРСТ-преобразованиями
метрики gtw служат общие ковариантные преобразования, параметрами которых
являются духовые поля
*5*ш = 4 dxgltv + ()<?Ai/ + (^i/^ )<fyA-БРСТ-преобразования самих духовых
полей имеют вид
нетривиальные пары {U',V'} состоят из струй йл{д%} символов Кристоффеля и
yd\{xu,,}. БРСТ-связностями являются
{с1} = {Г = е + dx\ Cvx = dxC + {аУ?*}.
Получаем операторы А, отвечающие БРСТ-связностям:
{AL} = {Dx = dx-{xt'li}а;-, а;},
где Др - генераторы группы GL(n, R), действующие на мировые индексы по
закону
а;тх = 6^, а;тх = tv.
Множество БРСТ-тензорных полей состоит из метрики д^, алгебраически
