Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
которое не имеет неподвижных точек. Поэтому каноническая проекция
Рх А^ (Рх ?)/<?= Q (5.16)
представляет собой главное расслоение со структурной группой Q. Поскольку
действие структурной группы G главного расслоения Р на Р х А коммутирует
с действием эффективной калибровочной группы Ли Q, определено действие
группы G на базе Q расслоения (5.16), и мы получаем главное расслоение со
структурной группой G
Q -> Q/G = X х О, (5.17)
называемое универсальным расслоением [26, 37, 142].
Расслоения (5.14), (5.16) и (5.17) приводят к коммутативной
диаграмме расслоений
Рх А Q
| _ | • (5.18)
X х А "Х х О
Левый морфизм в этой диаграмме
РхА^ХхА (5.19)
является главным расслоением со структурной группой G. Оно наделено
канонической связностью А, задаваемой расщеплением
х^вр + а + v4eq = х**{др + Al(x)eq) + а + (v4 - х^АКх))еч
(5.20)
точной последовательности
0-* Vg{PxA) ^-*Tg(PxA) -* (РхА) Х_Т(Хх А)
ЯхА
в точке (х, А) € X х А. Другая связность А на главном расслоении (5.19)
дается расщеплением
х^др + о + v4eq =
= + Al(x)eq) + (а- (*dA * <r)(cc)) + (v9 - х^АЦx))eq + (*dA * <?){х).
(5.21)
Комбинация связности А на главном расслоении (5.14) и связности А на
главном расслоении (5.19) задает композиционную связность А о (Id X, А)
на композиционном расслоении _ _
РхА->ХхА-*Х х О. (5.22)
В частности, обе связности А (5.20) и (5.21) на главном расслоении (5.19)
определяют одну и ту же композиционную связность на композиционном
расслоении (5.22).
Запишем связность А на главном G-расслоении (5.19) как То(Р х А)-значную
форму
А - А +с, (5.23)
§ 2. Связности на калибровочных полях
109
где А и с - Тс(Р х А) -значные формы соответственно на многообразиях Л" и
А. Назовем их для краткости (1,0)-, (0,1)-формами. Соответственно внешний
дифференциал d на произведении X х А расщепляется как
d = d + 6, (5.24)
62 = 0, йой-(-йо^=0.
Тогда напряженность связности А (5.23) (см. (5.12)) имеет вид
F ~ ~ ^2.°) + 1,1) + ^(0,2)> (5-25)
где
F1[2,о) = -ЛаА = Fa,
¦Fo,!) = + dAc),
F[о,2) = ^6ес.
Приведем локальные выражения для компонент
F(\,\) = fiA + dAc, (5.26)
^(0,2) =<5с+ ^[с, с], (5.27)
где А и с - локальные формы связности. Поскольку 62 = 0, из равенств
(5.26) и (5.27) следует, что
FF1)!,!) = - [с, F^d] - dAF(0<2), (5.28)
= - [с, F(о,2)] • (5.29)
Обозначим
Ф - F(|,|), Ф - Р(0,2)-Тогда соотношения (5.26)-(5.29) выглядят в
точности как БРСТ-преобразования
6А = ф- dAc, (5.30)
6с = ф-1-\с, с], (5.31)
&Ф = -\с,Ф]~ФАф, (5.32)
6ф=-\с,ф] (5.33)
полей (А,с,ф,ф) в геометрическом секторе топологической теории поля
Доналдсона. Эти поля характеризуются значениями духового числа 0, 1, 1 и
2 соответственно, которые совпадают со значениями их степени как (0, А)-
форм (37).
Если компоненты напряженности F^i) и F(2,2) обращаются в 0, уравнения
(5.30)-(5.33) сводятся к
6A = -dAc, <5с=-^[с,с]. (5.34)
Эти уравнения выглядят как БРСТ-преобразования (4.81) в калибровочной
модели Янга-Миллса (см. §6.3). Если А - каноническая связность,
задаваемая расщеплением (5.20), где с = 0, тогда уравнения (5.30)-(5.33)
принимают форму
6 А = ф, 6ф = -dA<t>, 6ф = 0.
110
Глава 5. Топологические теории поля
Они совпадают с БРСТ-преобразованиями, используемые Уиттеном [154|.
Уравнения (5.30)-(5.33) предполагают, что
d Tr (Р Л F) = (d + 6) Тг + ф + 0)) = 0 (5.35)
как следствие тождества Бианки
d^F = (d + 6)(FA + 0 + ф) + |/I + с, F^ + 0 4- 0| = 0. (5.36)
С геометрической точки зрения уравнение (5.35) отражает гот факт, что
калибровочно
инвариантные полиномы являются замкнутыми формами (см. первый том [11|,
§3.5, а также ниже §6.1). Запишем
I ^ ^
2Тг(Д(^+^ + ^)) = ?>'' (5.37)
где ш,; - внешние г-формы на многообразии X с духовыми
числами 4-г, задаваемые
выражениями
Щ) = ^ Тг (0 А V"), то, = Тг (0 А ф),
W2 = Тг yFA А ф + -1р А тр V)} = Тг (JF4 А V"), w4 = ~ Тг(Тл A Fa).
Тогда уравнение (5.35) может быть разложено в систему уравнений спуска
для членов с определенным духовым числом и определенной степенью внешней
формы на X:
dw4 = 0, (5.38а)
&wk + dwk~\ = 0, А: = 1,2, 3,4, (5.386)
6w о = 0. (5.38в)
Эти уравнения аналогичны уравнениям спуска (4.85а)-(4.85в), тогда
как равенство
(5.35) - это аналог равенства (4.86). Поэтому можно
сказать, что формы wk, к =
I, 2, 3, 4, локально БРСТ-замкнуты.
Данному А:~циклу 7 о многообразии X можно сопоставить внешнюю (4-А;)-
форму
J wk, к =1,2,3,4, • - (5.39)
на многообразии неприводимых связностей А. Эта форма не зависит от
метрики на X и калибровочно инвариантна. Благодаря равенству (5.386) она
БРСТ-замкнута, т. е.
6wk(7) = - J dwk_| = - J wk= 0
7 <>7
и, следовательно, играет роль наблюдаемой величины в топологической
теории поля. Более того, поскольку гильбертово многообразие А стягиваемо,
формы wk(7) являются БРСТ-точными. Имеет место локальная формула
тг /\Р' = 2ъ(алР-1-/\а),
§ 2. Связности на калибровочных полях
111
где А - локальная форма связности. Отсюда следует, что формы wk(y)
являются гомологическими в том смысле, что они зависят только от
