Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
риманопой метрики на X, обобщенный на g-значныс формы ф 6 Qr(X) (r) VC(P).
Впоследствии мы будем использовать тот факт, что, если А ? А -
неприводимая связность, существует функция Грина
GA = (*dA*dAy] (5.13)
ковариантного лапласиана
Дд = *d,1 * dA,
поскольку уравнение
dAi = VAt = 0, {6 VCP(X)
не допускает нетривиального решения (см. выражение (5.6)). ?
Напомним, что калибровочная группа представляет собой группу глобальных
сечений группового расслоения Р (см. первый том |11|, Пример 1.7.6). Хотя
Р -* X не является векторным расслоением, пополнение Соболева
калибровочной группы может быть получено следующим образом (118]. Будучи
матричной группой Ли, G является подмножеством алгебры 1x1 комплексных
матриц М(1, С) дли некоторого натурального числа I. Введем
ассоциированное с Р расслоение
Рм = (Р х M(l,C))/G
I х I матриц, где G действует на М(1, С) но присоединенному
представлению. Это векторное расслоение, слои которого наделены нормой
|L|2 = TrLL\ L 6 М(1, С).
Пусть Рм(Х)к - пополнение Соболева векторного пространства сечений РМ{Х)
расслоения Рм. Поскольку Q принадлежит РМ(Х), пополнение Соболева Qk
калибровочной группы G определяется как ее пополнение относительно
индуцированной иа Q метрики. Если к > п/2, тогда Qk замкнуто в Рм(Х)к и
групповые операции в Qk непрерывны в соответствии с Теоремой (5.1.2).
Таким образом, Qk, а также определяемые аналогично пополнения Соболева Gk
и §к групп Qn и Q являются топологическими группами. Более того, это
группы Ли. Будем называть их калибровочными группами Ли. При этом, как
уже отмечалось, алгебра Ли калибровочной группы Ли Qk представляет
§ 2. Связности на калибровочных полях
107
собой пополнение Соболева пространства сечений расслоении алгебр Ли Vc,P
(4.55), тоже рассматриваемого как подрасслосние расслоения матриц Рм [
118|.
Пополнение Соболева А* пространства калибровочных полей определяется как
аффинное пространство, моделируемое над пополнением Соболева С(Х)к
пространства сечений векторного расслоения С (5.1). Поэтому это
гильбертово многообразие (см. третий том |13|, § 1.7), касательным
пространством ТАА*., к которому в точке А ? А к является С(Х)к.
Пополнение Соболева \к пространства неприводимых связностей является
плотным открытым множеством в А*.
В дальнейшем мы будем предполагать, что к > 1 +п/2. Ключевым является тот
факт, что действие калибровочной группы Ли
б к, I х А к -' А к
является гладким, как и свободные действия групп
бк+\ х А* -> А*, б к и х А к -* А к.
Более того, фактор-пространство
Ок = А*/^+|,
называемое пространством орбит, представляет собой гладкое гильбертово
многообразие, а каноническая сюръекция А * -* 0* - это гладкое расслоение
(т.е. она локально тривиальна). Это главное расслоение со структурной
группой бк+\ [118]. Отметим, что фактор-пространство А к/Яш ~ это тоже
гладкое гильбертово многообразие, а топологическое пространство A*/&+i
стратифицировано на гладкие гильбертовы многообразия (99J (см. также [75,
76, 86|).
В квантовой калибровочной теории пространство орбит О, как известно,
играет роль конфигурационного пространства. Однако структура этого
пространства плохо поддается описанию. В частности, важной проблемой
является существование глобального сечения главного расслоения А* -* Ок.
Бели его глобальное сечение s существует, интегрирование по О может быть
заменено интегрированием по его образу а(0) С А с соответствующим весом,
например, детерминантом Фаддеева- Попова. При этом глобальное сечение s
можно интерпретировать как глобальную калибровку. Отсутствие глобального
сечения расслоения А* -* Ok приводит к так называемой неопределенности
Грибова^которая имеет место в целом ряде калибровочных моделей, где
главное расслоение А* -* Ok нетривиально (см., например, [49, 84, 121,
141 [).
§2. Связности на калибровочных полях
В дальнейшем мы будем предполагать, что все объекты, требующие пополнения
Соболева, пополнены относительно соответствующих норм, опуская индекс к.
Пространство орбит О является гильбертовым многообразием, моделируемым
над гильбертовым пространством, изоморфным ядру Кег *dA* оператора *dA*,
действующего на пространство сечений С(Х) векторного расслоения (5.1),
для любого А € А. Рассмотрим главное расслоение _
А -> С7 (5.14)
со структурной фуппой б¦ Имеет место каноническое расщепление касательных
пространств
ТдА = УдА (r) Кег * dji*, а - dAGA * dA * а + (<т - dAGA *dA* <т),
(5.15)
108
Глава 5. Топологические теории поля
где, напомним, Сд - функция Грина (5,13). Эго расщепление определяет
каноническую связность А на главном расслоении (5.14).
Возьмем прямое произведение Р х А главного расслоения Р и пространства
неприводимых связностей А. Это гильбертово многообразие, касательным
пространством к которому в точке (р, А) является прямое произведение
векторных пространств ТрР х С(Х). Нетрудно заметить, что определено
естественное действие эффективной калибровочной группы Ли Q на Р х А,
