Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4" -> 57

Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 — М.: УРСС, 2000. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaikvantoviepolya2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 75 >> Следующая

(6.19)
V6.20)
где
apr = Тг (eper)
§2. Глобальные аномалии
119
Замечание 6.1.3. Если dim X - 3, форма Чженя-Саймонса Q) (6.20) играет
роль лагранжиана модели Чженя-Саймонса топологической теории поля. Будучи
калиброночно неиниариантным, этот лагранжиан не является глобально
определенным. Поскольку
ни нетсронский гок (см. формулу (А.24) в первом томе 1111), ни тензор
энергии-импульса (см. там же формулу (А.36)) не сохраняются в модели
Чженя- Саймонса [781. ?
§2. Глобальные аномалии
13 сравнении с калибровочными аномалиями в предыдущем параграфе,
глобальные аномалии связаны с калибровочными преобразованиями, которые не
принадлежат связной компоненте единицы калибровочной группы.
Мы начнем с понятия когомологий групп (см. детальное
изложение в [8|).
Пусть G - мультипликативная группа, В - правый G-модуль и
Вр, р - 1,..., -
абелева группа морфизмов
Вр ЭЬ>>-. X G -> В. (6.21)
Можно ввести оператор взятия кограницы
6Р: Вр -> Вр+\
Р (W)(gh...,gp+I) = (6-22)
= iffa,.., ,gphl)g I + - ,9i9u I. ¦¦¦9p+\) + (- l)pfl6p (<7i,...
,gp).
i= I
Такие операторы образуют коцепной комплекс
0 у В в' В2 -->.... (6.23)
Под В в (6.23) понимается группа постоянных морфизмов
В Э b : G Ь
(6%) (у) = Ьд-Ь.
Отсюда следует, что 0-коциклами в В являются G-инвариантные элементы В.
Обозначим множество таких элементов как Вс. Когомологии H*(G\B) комплекса
(6.23) называются когомологиями группы G с коэффициентами в модуле В.
Например,
H°(G; В) = В°.
Заметим, что абелева группа Вр р-коцепей (6.21) является правым G-модулем
относительно действия группы G по закону
д: Ы(ди...,др) ^ Ы^'д^д,... ,д~'дрд).
Это действие тривиально на H*(G; В).
Пусть Н - нормальная подгруппа группы G. Имеет место точная
последовательность групп когомологий
О ->Н' (G/H\BH) -^H\G\B) -^H\H\B)g -+ H2(G/H\Bh) Hl{G\B). (6.24)
Стрелки j в этой точной последовательности являются композицией
естественной проекции G -+ G/Н с коциклами группы G/Н, тогда как стрелка
i в (6.24) - это ограничение коциклов группы G на подгруппу Н [48].
120
Г лава 6. Аномалии
Если G/H - конечная группа порядка г, существуют гомоморфизмы
в*: Я*(Я; В) -> #*(G; В). (6.25)
Например, гомоморфизм д{)\ Вн -> Вс имеет вид
даЬ=
е&а/н
где с - представитель класса сопряженности с € G/Н такой, что с = е € G,
если с = е € G/Я, где е обозначает единичные элементы групп. Мы также
получаем
(в'ь')(д)= 53 ь'(сдсд~')с.
ctC/H
Напомним, что сдсд~] е Я для любого элемента д е G. Важным свойством
гомоморфизмов (6.25) является то, что как г ° д, так и дог представляют
собой умножения на целое число г. Отсюда следует, что та = 0 для любого а
е Hk>0(G/H; Вн), т. е. группы когомологий Hk>t)(G/H\BH) состоят из
циклических элементов.
Обратимся теперь к аномалиям в квантовой теории поля. Пусть Р -> X -
главное 5G(7V)-расслоение над ориентируемым компактным римановым
многообразием ЛГ, Q - калибровочная группа Ли и А - пространство
связностей на Р -+ X. Как
и в предыдущей главе, мы будем полагать, что все пространства,
требующие пополне-
ния Соболева, пополнены соответствующим образом. Тогда эффективный
функционал действия квантовой теории поля можно рассматривать как
комплексную функцию 5(A) на пространстве калибровочных полей А, где для
простоты мы опускаем его зависимость от других полей. Если функционал
5(A) не является калибровочно инвариантным, мы получаем
S(A9) = iWl(A,g) + S(A), дед, (6.26)
W' (А\д') - W' (А,д'д) + W](A,g) = 0, (6.27)
(см. обозначения (6.13)).
Замечание 6.2.1. Стандартным примером калибровочно неинвариантного
эффективного действия служит
Тг In Т>+ = In det Т>+ = In det Т>+, где V+ - оператор Вейля и
1 2
- киральный оператор Дирака, пертурбативно эквивалентный V+. ?
Легко заметить, что выражение (6.27) в точности является условием коцикла
6[Wl =0
для когомологий калибровочной группы д с коэффициентами в модуле С(А)
комплексных функций на пространстве калибровочных полей А. Калибровочная
группа Ли Q действует на эти функции по закону
(W°g)(A) = Wn(As).
Таким образом, величину W'{A,g) в (6.26) можно интерпретировать как 1-
коцикл
W1: gig~w'(A,g)eC*(A)
V+ = гУ
+ 75)
(6.28)
§ 2. Глобальные аномалии
121
в вышеуказанных когомологиях. Если этот коцикл является кограницей
W'(A,g) = W\As)-W\A),
тогда к эффективному действию S{A) всегда можно добавить контрчлен -
W°(.A) так, что перенормированное эффективное действие 5(j4) - Wa(A)
становится калибровочно инвариантным. Отсюда следует, что аномалии
функционала действия в пертурбативной квантовой теории поля
характеризуются элементами группы когомологий Я'((7;С(А)), называемой
группой аномалий. Если калибровочная группа Ли Q не является связной и Qe
- компонента связности ее единицы е, можно исследовать глобальные
аномалии, т.е. тривиальные -коциклы, которые имеют расширения до
нетривиальных (7-коциклов [48, 141]. Нетривиальные и (/-инвариантные (7е-
коциклы характеризуют локальные аномалии.
Как уже говорилось, действие калибровочной группы Ли Q на пространстве
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed