Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
напряженность гомотопической связности
At = A' + t(A-A'), <€[0,1]. (6.3)
В частности, пусть А' = 0 на области тривиализации расслоения Р -> X, т.
е., будучи записанной как TqP-значная форма, она имеет вид
А! = вх = dxx (r) аА.
116
Глава 6. Аномалии
Тогда получаем локальную формулу трансгрессии
Vm(F) = dQim^(A,F) (6.4)
вместе с формами Чженя-Саймонса
j
Qim-\(A, F) = mfdt Р(А, Ft), (6.5)
О
где А - локальная форма связности (5.10) и
At=tA, Ft=tF + (t2 -t)A2.
Для упрощения записи мы в дальнейшем будем опускать символ Л внешнего
произведения.
Пример 6.1.1. Если
V(F) = c2(F)
- вторая форма Чженя для главного SU(N) -расслоения (см. формулу (3.48) в
первом томе [I lJ), находим
Tr(F2) = Qi = Тг (aF - = Тг (л dA + • (6.6)
?
Получим теперь формулу трансгрессии (6.1) в терминах гомотопических
производных [19, 36, 111]. Для данной гомотопической связности At (6.3) и
ее напряженности Ft гомотопической производной называется оператор
ltAt = 0, (6.7)
l,F, = d,A, =dt(A- A')t
который действует на полиномы S(At, Ft) от связности At и напряженности
Ft и который обладает свойством антидифференцирования
It(SS') =lt(S)S' + (-l),s,Slt(S').
Прямыми вычислениями можно проверить, что
lt о d + d о lt = dt = dt (r) dt. (6.8)
Замечание 6.1.2. Следует подчеркнуть, что полиномы S(At,Ft),
вообще говоря,
не являются глобально определенными, если только это не калибровочно
инвариантные
полиномы. Поэтому под аргументом At этих полиномов подразумевается
локальная форма связности (5.10). ?
Введем оператор
I
;= fit- (6.9)
о
Он называется гомотопическим оператором. Имеет место гомотопическая
формула Картона
S{A,F)-S{A',F') =(kod + dok)S(At,Ft). (6.10)
Будучи примененным к калибровочно инвариантным полиномам Vm(F),
гомотопический оператор (6.9) принимает вид
krm(Ft) = Q2m^(A,A'),
§ I. Калибровочные аномалии
117
где полином Р(А - A', Ft) в выражении (6.2) для форм Qi,n-\(А, А')
определяется как
т.Р(А - A', Ft) =
= Vm(A-A',Fi,...,Ft)+Vm(Fl,A-A',...,Fi) + ...+Pm(Fu...,A-Al). (6.11)
Поскольку калибровочно инвариантные полиномы - замкнутые формы,
гомотопическая формула Картана (6.I0) приводит к формуле трансгрессии
(6.I). Полагая локально А' = 0, мы получаем форму Чженя-Саймонса (6.5) в
виде
Q2m-S(A,F) = KPm{Ft). (6.12)
Рассмотрим калибровочные преобразования формы Чженя-Саймонса (6.12).
Напомним, что в случае матричной структурной группы G С GL(N, С) главного
расслоения Р -* X калибровочные преобразования локальной формы связности
А и напряженности F имеют вид
А9 = д~]Ад+ g~'dg = д~'(А +<т3)д, (6.13)
F9 = g-'Fg.
Возьмем гомотопическую связность At = tA, t 6 [0, 1]. Тогда калибровочно
преобразованная гомотопическая связность и ее напряженность
А = Ш9,
A = (Ft)9
являются гомотопиями, связывающими непрерывным образом калибровочные поля
А=о = g~'dg = g~'<r9g,
FL = О
и
А9 - А9
л1=\ - л >
Ff=l = F9.
Рассмотрим формы Чженя-Саймонса Q2m-i(A> F9) от этих гомотопий.
Примененная к ним гомотопическая формула Картана (6.10) принимает вид
Q2m-i(A9,F9)-Q2m-i(g-'dg)={kod+dok)Q2m-](AlF9). (6.14)
Калибровочно преобразованная форма Чженя-Саймонса Q2m-\{A9, F9) дается
выражением
!
Q2m-](A9,F9)=m J dtP (A9, F9),
где
A = (F9)t = g-'Ftg, F,=tF+ (t2 - t) (A + a9)2.
Поскольку полином P(A9, F?) выражается через калибровочно инвариантные
полиномы Vm, согласно формуле (6.11) получаем
P{A9,F?)=P{A,Ft).
Отсюда следует, что
Q2m-t(A9,F9)=Q2m-i(A + <T9,F) (6.15)
118
Глава 6. Аномалии
и аналогично
К, ff) =Q2m-[(At+<rfl,Ft).
С другой стороны, соотношения (6.4) и (6.12) дают
к о dQ2m_, (A*, Ff) = kPm(F,) = Q2",-,(i4, F).
(6.16)
Если обозначить
"2т-2 = к<?2т-| (i4f, if) = к<?2т_, (А + <Л #)>
гомотопическая формула Картана (6.14) принимает вид
<?2m-l (-4ff, Fg) - Q2m-l(A> F) + <?2т-|(<7 '^i^) + ^a2m-2>
(6.17)
или с учетом равенства (6.15)
<?2m-I (-4 + F) = Q2m-|(A, F) + Q2m-|(0"?) 0) + ^а2т-2-
(6.18)
Например, пусть фз - форма Чженя-Саймонса (6.6) в Примере 6.1.1. Для тп=2
поскольку Тг А2 = 0. Тогда, сохраняя только линейные по <гя члены,
получаем
Это уравнение представляет собой известную неабелеву аномалию в
размерности 2 с точностью до нормировки [36].
Аномалия (6.19) характеризует неинвариантность формы Чженя-Саймонса (6.6)
при инфинитезимальных калибровочных преобразованиях. Поэтому она может
быть подсчитана также следующим образом. Представим форму Чженя-Саймонса
Q3 как VfcP-значную форму на многообразии струй первого порядка JlC
расслоения связностей С (4.56). Она имеет вид
- инвариантная метрика на алгебре Ли su(N). Пусть (с - векторное поле
(4.57) на расслоении связностей С. Оно представляет собой генератор I-
параметрической группы калибровочных преобразований расслоения С. Запишем
производную Ли
Ьу'ь-Яз = Tr (d? A dHa), ( = ?рер, а = a^dx1' (r) ет.
Нетрудно видеть, что если ая = d?, тогда
dai = A*(Lji^cQ3) для любого сечения А расслоения С--*Х.
находим
"2 = к^(Л( + cr5, Ft) = J /(Тг [(4 + <r9)Ft - I (А, + ff9)3
о
о
doti = Тг [<r9dA].
