Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
d: Л Э а >-* (1 (r) а - а <8> 1) С El' [Д] (7.5)
(сравните с морфизмом (1.26)). Более того, п'[Д[ является Д-бимодулем,
порождаемым элементами da, а ? А, с законом умножения
b(da)c = Ъ(r)ас-Ьа(r)с, а, Ь, с ? Д.
Морфизм d (7.5) обладает свойством
d(ab) = (1(r)аЬ-аЬ(r)1+а(r)Ь - a(r)b) = (da)b + adb (7.6)
(сравните с формулой (1.28)), т. е. d является п'[Д]-значным
дифференцированием
алгебры Д. Благодаря указанному свойству, Q [Д| может рассматриваться как
левый Д-модуль, порождаемый элементами da, а € Д. В то же время, если Д -
коммутативной кольцо, Д-бимодуль п'[Д[ не совпадает с бимодулем fl'
(1.22), поскольку fl [Д[ не является центр(альным бимодулем (см.
Замечание 7.2.1).
130
Глава 7. Связности в некоммутативной геометрии
Чтобы преодолеть эту трудность, рассмотрим дифференцирования алгебры Л.
Они удовлетворяют правилу
u(ab) - и(а)Ь + au(b), V а, 4 ? Л. (7.7)
Следует подчеркнуть, что правило (7.7) отличается от правила
дифференцирования (3.16) градуированной алгебры и от правила
дифференцирования
u(ab) = и(а)Ь + и(Ь)а
общих алгебр [7]. В силу (7.7) дифференцирования алгебры Л составляют
2(A)-бимодуль Der А, но не левый .4-модуль.
Этот 2(A) -бимодуль является также алгеброй Ли над коммутативным кольцом
К. относительно скобок Ли
[д, и'\ = и о и - и о и. (7.8)
Центр 2(A) алгебры А сохраняется при дифференцированиях из Der Л, т.е.
u(a)b = bu(a), Уа?2(А), Ь ? А, и ? Der Л,
и имеет место равенство
[и, аи\ = и(а)и + а[д, и'], У а ? 2(A), и, и ? Der А. (7.9)
Если Л - *-алгебра с единицей, модуль Der Л дифференцирований
Л наделен
инволюцией и и*, определяемой как
и'(а) - (д(а*))*.
Тогда скобки Ли (7.8) удовлетворяют условию вещественности
[u,uT = ["*,"'*]¦
Рассмотрим когомологии Шевалле-Эиленберга (см. [150]) алгебры Ли Der Л
относительно ее естественного представления в алгебре Л. Соответствующее
пространство к-коцепей Qk [Л], *= I,..., представляет собой Л-бимодуль
Я(Л)-мультилинейных антисимметричных отображений (Der Л)* в Л. В
частности, ST![Л] - это бимодуль
Ц'[Л] = Der Л*, (7.10)
Л-дуальный к модулю дифференцирований Der Л (сравните с
изоморфизмом (1.59)).
Положим по определению ?2°[Л] = Л. Оператор кограницы Шевалле-Эиленберга
d: П*[Л] -" П*+|[Л]
задается в виде
1 *,
(d<t>)(u0,... ,uk) = --j-^(-1)4-(</>(и0, u*)) + (7.U)
i=0
+ fcT7 X] (-1)r+V([Mr,""]>M0, ...,иг,..., Us,...,uk),
0
где щ означает, что элемент щ опущен. Например,
(da.)(и) = и(а), а 6 Л, . (7.12)
(d<t>)(u0,m) = ^("0(<М"|))-"i(0("o)) - <p([uo,ui\)), 0е$У[Л|.
(7.13)
§ 2. Некоммутативное дифференциальное исчисление
131
Нетрудно установить, что d2 - 0. В результате мы имеем коцепной комплекс
Шевалле- Эйлепберга для /С-модулей
0->Д-^П'[Д] -^... . (7.14)
Более того, Ъ -градуированное пространство
П*И] = Ф0*[Л] (7.15)
к-0
наделено структурой градуированной алгебры относительно произведения Л,
являющегося композицией операции произведения в алгебре А с
антисимметризацией по аргументам. Заметим, что, если алгебра А не
коммутативна, свойства этого произведения не имеют ничего общего со
свойствами градуированной коммутативности внешних форм, т. е. в общем
случае
ф А ф' Ф (-1 )М^0' д ф.
Если А - *-алгебра, градуированная алгебра П*[Д] тоже наделена инволюцией
0*(и|,...,д*)=Г(0(д1,...,и*))*.
Таким образом, построенная нами градуированная алгебра (П*[Л|,й) является
дифференциальным исчислением над А, называемым дифференциальным
исчислением Шевалле-Эйлепберга.
Легко заметить, что, если А = С00 (.ЯГ) - коммутативное кольцо гладких
комплексных функций на компактном многообразии X, градуированная алгебра
?2*[С°°(ХГ)] - это в точности комплексифицированная внешняя алгебра
<С(r)П*(Х) внешних форм на X. В этом случае оператор кограницы Шезалле-
Эйлепберга (7.11) совпадает с внешним дифференциалом, а комплекс Шевалле-
Эйленберга (7.14) - это комплекс Де Рама комплексных внешних форм на
многообразии X. В частности, операции
("_.</>)(",,... ,"*_,) = кф(и,щ,..., "*_,),
и Е Der Л
Lu(0) = d(u j ф) + и j /(ф),
на градуированной алгебре П*[Д] представляют собой некоммутативные
обобщения внутреннего произведения и производной Ли внешних форм. Поэтому
мы имеем все основания интерпретировать элементы модуля как
некоммутативное обобщение
дифференциальных 1-форм, хотя это обобщение не является единственным.
Пусть П*|Д) - наименьшая дифференциальная подалгебра градуированной
дифференциальной алгебры П*[Д], которая содержит А. Она порождается
элементами da, a ? А, и состоит из конечных линейных комбинаций моноидов
вида
ф = a()da| А ... A da*, а,- ? А,
(сравните с (7.3)). В частности, П'[Д] является Д-бимодулем (7.4),
порождаемым элементами da, а ? А. Поскольку центр 2(A) алгебры А стабилен
относительно дифференцирований кольца А, получаем
bda = (da)6, adb - (db)a, a ? A, b ? 2(A), da Adb = -db A da, V a ? 2(A).
Отсюда видно, что является центральным бимодулем в отличие от
бимоду-
ля П [А] (7.4). В силу соотношения (7.12) имеет место изоморфизм
