Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Der Д = О1 [Д]* (7.16)
132
Глава 7. Связности в некоммутативной геометрии
.2(Д)-модуля Der Д дифференцирований алгебры Д и Д-дуального модуля к
модулю П'[Д| (сравните с соотношением дуальности (1.38)). Комбинация
соотношений дуальности (7.10) и (7.16) приводит к изоморфизму
Дифференциальная подалгебра (П*[Д|,й) является универсальным
дифференциальным исчислением над Д. Если Д - коммутативное кольцо, тогда
П*[Д] - комплекс Де Рама (1.42).
§ 3. Универсальные связности
Пусть (П\ 6) - дифференциальное исчисление над >С-алгеброй А с единицей и
Р - левый (соответственно правый) Д-модуль. По аналогии с Определением
1.2.2 рассмотрим тензорное произведение Л1 (r) Р (соответственно Р @ {21) и
определим связность на модуле Р следующим образом (103, 15 lj.
Опрёдёлёниё 7.3.1. Некоммутативной связностью на левом Д-бимодуле Р
относительно дифференциального исчисления (Л*,<5) называется морфизм ^-
модулей
V: Р -> fi1 (r) Р, (7.17)
который удовлетворяет правилу Лейбница
V(ap) = 6а (r) р •+- aV(p).
?
Если Л* = П*Д - универсальное дифференциальное исчисление, связность
(7.17) именуется универсальной некоммутативной связностью |103, 151].
Кривизна некоммутативной связности (7.17) определяется как морфизм Д-
модулей
V2: Р -* Л2[Д| (r) Р
(сравните с (1.58)) [103]. Отметим также, что морфизм (7.17) допускает
естественное расширение [64, 103]
V: Л*(r)Р-^ Лк м(r)Р,
V(a (r) р) = 6а(r) р + (-l)^a (r) V(p), о € Л*.
Аналогично некоммутативная связность определяется на правом Д-модуле.
Однако некоммутативные связности на левых (правых) модулях не всегда
существуют. В этой связи приведем следующую теорему (см. §7.6).
Тёорёма 7.3.2. Универсальная связность на левом (правом) модуле Р
конечного ранга существует тогда и только тогда, когда Р - проективный
модуль (55, 103J. ?
Трудность возникает, когда Р - Д-бимодуль. Если Д - коммутативное кольцо,
левая и правая структуры Д-бимодуля эквивалентны и вводится или левая,
или правая связность на Р (см. Определение 1.2.2). Если Р - это Д-
бимодуль над некоммутативным кольцом, левая и правая некоммутативные
связности V1' и Vй на Р должны быть введены одновременно. Однако пара
(Vй, Vя) никаким образом не является некоммутативной связностью на
бимодуле, поскольку Vt(P) ? О1 (r)Р, тогда как Vfl(P) ? P(r)fi'. Как
паллиатив, обычно предполагают, что существует изоморфизм бимодулей
0:О'(r)Р - Р(r)"'. (7.18)
§ 4. Связности Дюбуа-Виолетта
133
Тогда пара (V?, Vй) левых и правых некоммутативных связностей на Р
называется ^-согласованной, если [64, ЮЗ, 120|
до V? = Vя
(см. более слабое условие в работе |56|). Тем не менее, это не является
истинной некоммутативной связностью на бимодуле (см. ниже условие
(7.22)).
Замечание 7.3.1. Если А - коммутативное кольцо, изоморфизм д (7.1) - это,
естественно, перестановка
g:a(r)p*-*p(r)a, VaGfi', р ? Р.
?
Упомянутая выше проблема некоммутативной связности на бимодуле
существенно не упрощается, если даже Р = Г21 вместе с очевидной
перестановкой [63, 120]
ффф'^ф'фф, ф,ф'$ П1,
Пусть теперь (S7*|*4|, d) - универсальное дифференциальное исчисление над
некоммутативным /С-кольцом А и пусть
VA: Р-П'[Л|(r)Р, VL{ap) = da(r)p + aVL{p) (7.19)
- левая универсальная некоммутативная связность на левом .4-модуле Р
(сравните с Определением 1.2.2). Благодаря условию дуальности (7.16), для
всякого дифференцирования и 6 Der А существует эндоморфизм /С-модуля Р
V*: Р Э р - u j VL(p) G Р. (7.20)
Если Vя - правая универсальная некоммутативная связность на правом .4-
модуле Р, аналогичный эндоморфизм
V": РЭр- V?(P)l"€P (7.21)
определен для любого дифференцирования u 6 Der А. Пусть (Vr', Vя) - ?i-
согласованная пара левых и правых универсальных некоммутативных
связностей на .4-бимодуле Р. Естественно считать эту пару универсальной
некоммутативной связностью на бимодуле Р,если
и j Vb(p) = V*(p) L и (7.22)
для всех р € Р и u € Der Л.
В то же время, основываясь на эндоморфизмах (7.20)-(7.21), можно
предложить другое определение некоммутативной связности на бимодуле в
духе Определения 1.2.7.
§ 4. Связности Дюбуа-Виолетта
Пусть А - /С-кольцо и Р - 4-модуль типа (i,j) в соответствии с
терминологией §7.1.
Определение 7.4.1. По аналогии с Определением 1.2.7, связностью Дюбуа-
Виолетта на 4-модуле Р типа (i,j) называется морфизм 2(4);бимодулей
V: Der А Э и •-" V" € Нот д.:(Р, Р) (7.23)
из Der.4 в 2(A)-бимодуль эндоморфизмов /С-модуля Р, который удовлетворяет
правилу Лейбница [63, 120]
Vu(aipaj) = u(ai)paj + a, Vu(p)oj + atpu(aj), Vp € P, Va* € 4*.
(7.24)
134
Глава 7. Связности а некоммутативной геометрии
Согласно соотношению дуальности (7.16) и выражениям (7.20)-(7.21) всякая
левая (соответственно правая) универсальная некоммутативная связность
порождает связность (7.23) на левом (соответственно правом) .4-модуле Р.
В дальнейшем под связностью в некоммутативной геометрии будет
подразумеваться именно связность Дюбуа-Виолетта из Определения 7.4.1.
Выражение (7.24) показывает, что, если некоммутативные связности на Л-
