Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4" -> 65

Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 — М.: УРСС, 2000. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaikvantoviepolya2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 75 >> Следующая

Морфизм
d: Мп -> П'[М"] дается выражением (7.12) и имеет вид
d?r{uq) = ad е?(ег) = cqr?S)
d?r = с\г?3вч. (7.33)
В свою очередь, выражение (7.13) приводит к уравнениям Маурера-Картана
<Wr = -~c;f0"A0'. (7.34)
Обозначим в = ?гвг. Тогда равенство (7.33) переписывается в виде
da = ав - ва, V а € М".
Отсюда следует, что М,,-бимодуль S21 [J порождается одним элементом в.
Поскольку DerМ" является конечным свободным модулем, можно показать, что
Мп-бимодуль f21 [2WnJ изоморфен М"-дуальному модулю О1 |Л/"1 к DeriW,,.
Обратимся теперь к некоммутативным связностям на Мп-бимодуле П'[МН).
Такая некоммутативная связность V дается выражениями
V"=cX=crVr, Vr{ep) =ч?тчв\ ы?,€М". (7.35)
Принимая во внимание равенства (7.31)-(7.32), мы получаем из правила
Лейбница (7.24), что
aVT(6p) =VT(ep)a, Va € М".
Отсюда следует, что элементы шрч в выражении (7.35)
пропорциональны единичной
матрице 1 € М", т.е. являются комплексными числами. Тогда
соотношения
Vr (О ="?,**, "?, € С, (7.36)
задают линейную некоммутативную связность на Мп-бимодуле П'[М"].
Приведем два примера линейной некоммутативной связности.
(i) Поскольку все дифференцирования алгебры Мп являются внутренними,
существует плоская некоммутативная связность (7.26), задаваемая
соотношениями
Vr(^)=0.
Однако эта связность имеет ненулевое кручение. Выражения (7.30) и (7.34)
приводят к
(T0p)(ur,uq) = -<?rq.
(Н) Можно показать, что в матричной геометрии существует единственная
линейная некоммутативная связность с нулевым кручением
VT{<?) =
§ 6. Некоммутативная геометрия Кона
137
§ 6. Некоммутативная геометрия Кона
Дифференциальное исчисление Кона основывается на понятии спектральной
тройки [53, 103, 106, 151J.
Определение 7.6,1. Спектральная тройка (А, Н, D) состоит из *-алгсбры Д С
В(Н) ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Н вместе с
самосопряженным (неограниченным в общем случае) оператором D = D* в Н,
обладающим следующими свойствами:
• резольвента (D - А)-1, A g К, является компактным оператором в Н\
• [D,A\ € В(П).
?
Пара (A,D) называется также К-циклом над А. Во многих случаях Н является
22-градуированным гильбертовым пространством, снабженным проектором Г
таким, что
FD + 1>Г = 0, [а, Г| = 0, Va€ А,
т. е. А действует на Н четными операторами, тогда как D является
нечетным опе-
ратором. Спектральная тройка называется четной, если такая градуировка
существует, и нечетной в противном случае.
Замечание 7.6.1. Стандартным примером спектральной тройки является
случай
оператора Дирака D на компактном спин- или спине-многообразии [54,
73, 74, 94|
(см. работу [!09| и цитируемую в ней литературу по геометрии спин^-
многообразий). ?
Пусть дана спектральная тройка (A,7i,D). Рассмотрим универсальное
дифференциальное исчисление (П*Д, 6) над алгеброй А. Построим
представление градуированной дифференциальной алгебры П*А ограниченными
операторами в гильбертовом пространстве Н, когда дифференцирование
Шевалле-Эйленберга 6 (7.11) алгебры А заменено коммутатором [D, о|, a 6
А:
тг: П*А->В(П), тг(а06а| ... 6ot) = о0[ДО| [...[?>, о* |. (7.37)
Поскольку
\D,a}* = -[D, а*|,
мы получаем
Тг(0)* = тг(0'), ф е П"А.
Однако тг (7.37) не является представлением градуированной
дифференциальной алгебры Cl*А, так как тг(ф) = 0 не предполагает, что
тг(6ф) = 0. Поэтому нужно построить соответствующий фактор, чтобы
получить градуированную дифференциальную алгебру операторов в
гильбертовом пространстве Н.
Обозначим Jn двусторонний градуированный идеал 0,'А, где
Jo ={ф€ П*Д: тг(ф) = 0}.
Тогда нетрудно установить, что J = Jq + 6Jo - градуированный
дифференциальный двусторонний идеал П* А. Дифференциальным исчислением
Кона называется пара (П^Д, d) такая, что
П1>Д = Cl*A/J, Ф[ф\ = [<50], где \ф\ обозначает класс элемента ф G ЯМ в
Cl*DA. Это дифференциальное исчисление над алгеброй fluDA = А. Его fc-
коцепной подмодуль П*ПА состоит из классов операторов
X) "о [D> "**]••• IA ai] > е Д>
j
138
Глава 7. Связности в некоммутативной геометрии
по модулю подмодуля операторов
IE [А ЬЙ] М] • • • [А С,]: [Д fri] • • • [A bi_,] = о}.
J J
Пусть теперь Р - правый конечный проективный модуль над * -алгеброй А.
Рассмотрим правую некоммутативную связность на Р относительно
дифференциального исчисления Кона (ПрД, d). Согласно Теореме 7.3.2 правый
конечный проективный модуль допускает некоммутативную связность. Построим
эту связность в явном виде.
Имея правый конечный проективный модуль Р над комплексным кольцом
А,
рассмотрим соответствующие мономорфизм и эпиморфизм
р: С* <g> А -* Р, i>: Р -* С* <g> А,
с с
где символ обозначает тензорное произведение над полем С. Существует
цепочка
с
морфизмов
р -JUC* (r) A 0П'д (7.38)
где использован канонический изоморфизм модулей
с* <g> п'л = (с* <g> д) (r) п'л
с v с '
Нетрудно заметить, что композиция морфизмов (7.38), обозначаемая для
краткости ро<5, является правой универсальной некоммутативной связностью
на модуле Р.
Имея универсальную некоммутативную связность р о б на правом конечном
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed