Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
и оператором Лапласа
А = <2(5 4- 6d
является аналитическим. ?
Для эллиптического комплекса на компактном многообразии имеет место
обобщение теоремы Ходжа.
Теорема Б.5. Если дан эллиптический комплекс (E,V) и fk е Г(Ек) - сечение
расслоения Ек, то fk может быть однозначно разложено в сумму
Д = ?Д-|Д-1 +Vkfk+{ -f hk, (Б.7)
где hk - гармоническое сечение расслоения Ек, т. е.
A*hk = 0.
?
Отсюда, в частности, следует, что сечение fk является гармоническим тогда
и только тогда, когда
Vkfk = 0, 2>J_,/t=0.
Построим группы когомологий Н*(Е, V) комплекса (E,V).
Исходя из теоремы Ходжа, нетрудно показать, что к-я группа когомологий
Hk(E,V) эллиптического комплекса изоморфна КегД*, т. е. что всякий класс
когомологий замкнутых сечений Д. содержит одно и только одно
гармоническое сечение. Отсюда следует, что группы когомологий
эллиптического комплекса конечномерны.
Индексом комплекса (E,V) называется сумма
г(Я, 2?) = ^Н)А: dim #"'(?,?), (Б.8)
к
если она конечна. Это имеет место в случае эллиптического комплекса, и
t(E,V) = ^2(-l)fcdim KerAfe. (Б.9)
к
Пример Б.4. Пусть (Е, V) = (Д*, <2) - комплекс Де Рама. Как уже
отмечалось, это эллиптический комплекс, и его когомологии совпадают с
когомологиями Де Рама
Нк(П, d) = Нк(Х- К) = Нк(Х)
многообразия X. Тогда индекс этого комплекса совпадает с эйлеровой
характеристикой многообразия X:
т(П, d) = ?](-1)" dim Я*(Х) = Ь* = *№•
Л* к
?
Теорема об индексе
145
Пример Б.5. Пусть V (Б.4) - эллиптический оператор. Его индекс совпадает
с индексом 2-членного комплекса
О-> Г(?)r(f')-> 0. (Б. 10)
Действительно, лапласианами этого комплекса являются
Д0 = Р*°Х>, A{=VoV*, а его группами когомологий - группы
Н° = Кег V, Н' = Coker Р.
Комплекс (Б. 10) эллиптический, и его индекс равен
т = dim Кег V - dim Coker V, что совпадает с выражением (Б.6) для индекса
оператора V. ?
Можно построить аналогичный 2-членный комплекс, индекс которого будет
совпадать с индексом данного комплекса (E,V). Пусть
Е = ф Eik, F = @E2k+\, V = ф(Т>2к + Т>2к-1), V = (r){T>2k + Т>2к-\)-
к к к к
Легко проверить, что
V: Г(Ё) -> Г(F), V*: Г(^) -> Г(Ё)
и последовательность
0->Ё^Е-> 0 (Б.11)
образует комплекс. Его лапласианами являются эллиптические операторы
?о = V* о V - ф Д2к,
к
? | = V о V* = ф Д24+1-
к
Следовательно комплекс (Б. 11) эллиптический и его индекс равен
т = dim Кег По - dim Кег D| = 0* dim Кег Д4 = т(Е, V).
к
Более того, можно показать, что оператор V комплекса (Б.11)
эллиптический.
Перейдем теперь непосредственно к теореме об индексе для комплексов (Б.
10) и (Б.11).
Возьмем два экземпляра расслоений на n-мерные единичные шары D\(X) и ^(Х)
с типичным слоем Dn и склеим их в каждой точке х Е X по сферам Sп~1 -
границам шаров Dn. Полученное расслоение на сферы S" называется
компактифицированным касательным расслоением
р: С(Х) -> X,
и его ориентация выбирается как у D\(X). Пусть р\ и р2 - ограничения
расслоения р соответственно на подрасслоения D\(X) и Dj(X). Рассмотрим
индуцированные расслоения р]Е и p\F. Склеим их тоже в каждой точке х Е X
по границе шаров D" и D", используя в качестве функций перехода
изоморфизм <г{Т>)\$(х) (Б.5). Полученное расслоение ? именуется
разностным расслоением.
146
Приложение Б. Теорема об индексе
Определение Б.6. Топологическим индексом дифференциального оператора V
(Б.4) называется величина
7(Р)= f ch (Е) Л р' (td (ТХ)),
С(Х)
где ch (Е) - характеристическая форма характера Чженя разностного
расслоения Е и td(TX) - характеристическая форма класса Тодда почти
комплексного многообразия ТХ (см. первый том [11], § 3.5). ?
Приведем теперь известную теорему Атьи-Зингера об индексе.
Теорема Б.7. Если V - эллиптический оператор (Б.4), его индекс и
топологический индекс равны:
т(2>)=7(2>). (Б.12)
?
Отсюда, в частности, следует, что топологический индекс эллиптического
оператора - целое число. Другое следствие теоремы Атьи-Зингера состоит в
том, что
т( V) = 7(2)) = О,
если многообразие X имеет нечетную размерность.
Если многообразие X имеет размерность 2m и ориентируемо (напомним, что
оно предполагается компактным), равенство (Б. 12) можно переписать в виде
T(V)^(-\)^ J ch(EeF)1^^, (Б. 13)
X
где е(Х) - характеристическая форма класса Эйлера многообразия X.
Если комплекс (Б. 11) образован из комплекса (Е, Х>), из (Б. 13) получаем
следующее выражение для индекса последнего:
т(Е, 2>) = (-1)^ / Х> Dfcch №)jf?y-х k
Выше было показано, что индексом комплекса Де Рама на компактном
ориентируемом многообразии является эйлерова характеристика этого
многообразия. Приведем еще примеры применения теоремы об индексе для
описания индекса многообразия (см. §5.3) и индекса спинорного комплекса.
Пусть X - 4га-мерное ориентируемое компактное римановой многообразие.
Индекс этого многообразия т(шх) определяется аналогично тому, как это
было сделано для 4-мерного многообразия в §5.3 (см. [14]). Вычислим этот
индекс как индекс некоторого эллиптического комплекса.
Определим оператор ш, действующий на внешние fc-формы на X как
