Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
столбца (</>("') гладких комплексных функций на базе X таких, что p.s =
s. Отсюда следует, что s ? рС(Х)""', т.е. Е(Х) является проективным
модулем конечного ранга. Обратное утверждение составляет содержание
упоминавшейся выше теоремы Серре- Свана [144, 151].
Тюрьма 7.1.1. Пусть Р - конечный проективный *-модуль над кольцом C°°(X)
гладких комплексных функций па многообразии X. Тогда существует гладкое
комплексное векторное расслоение Е над X такое, что модуль Р изоморфен
структурному модулю Е(Х) глобальных сечений расслоения Е. ?
В некоммутативной геометрии, основываясь на этой теореме, о конечном
проективном *-молуле над плотной т-подалгеброй С*-алгебры с единицей
говорят как о некоммутативном векторном расслоении.
В некоммутативной геометрии *-модуль Р обычно наделяется эрмитовой
структурой. Правой эрмитовой формой на Р называется полулинейный морфизм
(,|.): Р х Р -> А
такой, что [63]:
(i) (pa\p'b) = а*(р\р')Ь для всех а,Ь € А и р, р' ? Р;
00 (р\р') = (р'\р)*\
(in) (ар|р') = (р|а*р') для всех а ? А и р, р' ? Р;
(iv) (р\р), Vp € Р, является положительным элементом в А (т.е. (р|р) =
qq* для некоторого элемента q ? А);
(v) из (р\р) - о следует р = 0.
128
Глава 7. Связности в некоммутативной геометрии
Это определение правой эрмитовой формы, исключая условие (iii), совпадает
с определением эрмитовой формы на правом Д-модуле над *-алгеброй А [151J.
§ 2. Некоммутативное дифференциальное исчисление
Некоммутативное обобщение дифференциальной геометрии основано на том, что
внешняя алгебра дифференциальных форм заменяется на Ъ -градуированную
дифференциальную алгебру [ПО]. Всюду в этой главе под градуировкой
подразумевается именно Z-градуировка.
Напомним, что градуированная алгебра ft* над коммутативным кольцом К,
определяется как прямая сумма
ft* = ф ft*
Jfc=l)
JC-модулей ft*, наделенная ассоциативной операцией умножения такой, что а
¦ /3 ? ftl"l^l, где |а| обозначает степень элемента а ? ftl"l. В
частности, ft0 представляет собой некоторую К-алгебру А с единицей 1, a
ft*>0 являются Д-бимодулями. Градуированная алгебра ft* называется
градуированной дифференциальной алгеброй, если она - коцепной комплекс ^-
модулей
О -> Д -^-+ ft1 -V..
относительно оператора кограницы 6 такого, что
6(а-Р) = 6а- р + (-1)Ма-бр.
Определение 7.2.1. Градуированная дифференциальная алгебра (ft*,?)
называется дифференциальным исчислением над ДС-алгеброй Д = 12°. ?
Если Д - *-алгебра, предполагаются дополнительные условия {а-p)* = {-
\)^тр*а\ (6а)' = 6(а').
Замечание 7.2.1. Комплекс Де Рама (1.42) служит примером
дифференциального исчисления над коммутативным кольцом. Чтобы обобщить
его на некоммутативное кольцо Д, от оператора кограницы 6 следует
потребовать дополнительные свойства:
• ft*>0 - центральные Д-бимодули;
• элементы 6а\ ... 6ак, а, € 2(A), принадлежат центру Z(ft*) модуля ft*;
тогда, если Д - коммутативное кольцо, выполняется условие коммутативности
(1.27).
?
Пусть Г2*Д - минимальная градуированная дифференциальная подалгебра
алгебры ft*, которая содержит Д. Как Д-алгебра она порождается элементами
6а, а ? А, и состоит из конечных линейных комбинаций моноидов вида
а = a06ai... 6ак, а, € Д. (7.3)
Произведение моноидов (7.3) определяется по правилу
(ацда|) • (6"<56,) = agd(aibg) • 6b\ - ада16до • 6Ь\.
Вчастности, ft1 Д представляет собой Д-бимодуль, порождаемый элементами
6а, а ? А. Поскольку
(6а)Ь = 6(аЬ) - абЬ,
§ 2. Некоммутативное дифференциальное исчисление
129
бимодуль П1 Д можно также рассматривать как левый (или правый) Д-модуль,
порождаемый элементами 6а, а € Д. Отметим, что <5(1) = 0. Соответственно
ПкЛ = п'д.-.п'д
к
- это Д-бимодули и одновременно левые (или правые) Д-модули, порождаемые
моноидами (7.3).
Таким образом, градуированная дифференциальная подалгебра (0*Д, 6)
является дифференциальным исчислением над Д. Она называется универсальным
дифференциальным исчислением, поскольку обладает следующим свойством [52,
95, 103]. Пусть (А*, 6') - другое дифференциальное исчисление над /С-
алгеброй А с единицей, и пусть
р: Д ^ А
- морфизм алгебр. Существует единственное расширение этого морфизма до
морфизма градуированных дифференциальных алгебр
ПкЛ -> Ак
такое, что рк+] об = 6' о рк.
Наш интерес к дифференциальным исчислениям над алгеброй Д вызван тем
фактом, что в коммутативной геометрии Определение 1.2.2 алгебраической
связности на Д-модуле использует модуль П1 (1.22). Если Д = С°с(X), это
модуль 1-форм на многообразии X. Поэтому, чтобы ввести связность в
некоммутативной геометрии, нужно сначала построить некоммутативный аналог
модуля О1. При этом можно следовать определению модуля П1 в § 1.1, но не
брать фактор по mod р2, поскольку эго предполагает условие
коммутативности (1.27).
Пусть Д - /С-алгебра с единицей. Рассмотрим тензорное произведение Д(^)Д
к
/С-модулей и морфизм /С-модулей
р}: Д<3>ДЭа(r)6|-*аЬЕД.
к
Следуя (1.22), определим К.-модуль
П'[Д| = Ker/i1. (7.4)
Существует морфизм /С-модулей
