Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
теорема об индексе Хирцебруха [ 14J выражает индекс многообразия т(шх)
через классы Понтрягина:
т(шх) =
(см. Приложение Б).
Форма пересечения является топологическим, а не только гомотопическим
инвариантом. А именно, класс гомеоморфных топологических многообразий X
однозначно определяется формой пересечения шх, если она четна, и
существует в точности два различных класса гомеоморфных топологических
многообразий с данной нечетной формой пересечения и>х [71]. В частности,
существуют формы пересечения 4-мерного топологического многообразия,
которые не являются формами пересечения гладкого многообразия. Согласно
известной теореме Доналдсона [59|, если форма пересечения шх гладкого
компактного (но необязательно односвязного) многообразия X отрицательно
определена, тогда
шх ^ (-1)0 ...(r) (-1).
?
Вернемся к инвариантам Доналдсона. Главным элементом их конструкции
является морфизм
р: Hi(X;Z) -> НЛ~'(0). (5.47)
Он может быть описан следующим образом. Рассмотрим универсальное
расслоение Q -> X х О (5.17). Пусть Е - ассоциированное с ним комплексное
векторное расслоение со структурной группой SU(2) и с2(Е) € Н4(0) - его
второй класс Чженя. Напомним формулу Кюннета
Нт(ХхХ')= Hk(X)(r)H'(X')
k+l=m
для групп когомологий Де Рама произведения многообразий. В соответствии с
этой формулой класс Чженя с2(Е) раскладывается на составляющие
с,- 4_,- е н\х) 9 * = О,..., 4.
114
Глава 5. Топологические теории поля
Эти составляющие определяют морфизм (5.47) как композицию гомоморфизма
групп сингулярных гомологий
fl*(JT;Z)- Я,(ЛГ:К)
и билинейной формы двойственности де Рама
НР(Х) (r) Нр(Х; М) - К
(см. первый том [111. § 3.3). Пусть А - связность на универсальном
расслоении (5.17). F ее напряженность и 02(F) - вторая форма Чженя (см.
выражение (3.48) в первом томе (П|). Вышеупомянутые составляющие класса
Чженя Ci(E) - это когомологии Де Рама (г, 4 - г)-форм w( на произведении
X х О, которые образуют разложение формы Чженя c2(F), аналогичное
разложению (5.37). Тогда морфизм (5.47) задается интегрированием
y>ib) = j щ,
1
где 7 - г-циклы в X.
Отметим, что рациональные когомологии пространства орбит О имеют четные
когомологические размерности и порождаются когомологическими классами
размерностей 2 и 4. Поэтому мы ограничим в дальнейшем наше рассмотрение
морфизмом (5.47), где * = 0, 2, и расширим его до морфизма
ц: ХВД2)-й2м(О;0),
используя ^-произведение в Н2т(0; Q). Этот морфизм задает вложение
- , l7w]) мм(Ы) U ... U/i(|7,"]) (5.48)
полиномиальной алгебры на H2(X;Z) в рациональные когомологии //L'";n(d7;
Q) пространства орбит.
Пусть М -- фазовое пространство неприводимых инстантонов с инетантонным
числом
* = J c2(Fa).
X
Его формальная размерность равна
dim АЛ - 8А; - 3(l + b2h)-
Нетрудно видеть, что dim М является четной тогда и только тогда, когда bj
нечетно. Записывая 62f = 2р + 1, получаем
dim М = 2то, m = 4А; - 3( 1 + р).
Полиномы (5.48), взятые на гомологическом цикле |Л4| б Н,(0, Q) в
пространстве орбит О, называются полиномами Доналдсона. Они выражаются
через напряженность F связности А на пространстве орбит О. Рассматривая
связность А локально как индуцированную связностью на А и используя
соотношения (5.40) и (5.4!), мы приходим к инвариантам Доналдсона в
топологической теории поля, хотя получить их в явном виде весьма
затруднительно.
Глава 6
Аномалии
Проблема аномалий заключается в нарушении законов сохранения для
квантованных полей и в калибровочной неинвариантности эффективного
функционала действия и меры при квантовании методом функционального
интегрирования (см., например, [36J в качестве подробного обзора). Здесь
мы коснемся только геометрической природы аномалий, основываясь на
геометрии и топологии пространства калибровочных полей.
§ 1. Калибровочные аномалии
Этот параграф посвящен аномалиям, связанным с калибровочной
неинвариантно-стью форм Чженя-Саймонса.
Пусть Р -* X - главное GL(N, С)-расслоение. Характеристические формы в
первом томе [II], §3.5, служат примером калибровочно инвариантных
полиномов V(F) от напряженности F связности на главном расслоении Р -* X
(см. формулу (1.93) в первом томе [ 111), т. е.
V(F) = P(g(F)), дед,
где Q - калибровочная группа вертикальных автоморфизмов Р. Калибровочно
инвариантные полиномы представляют собой комплексные внешние формы четной
степени на многообразии X. Они обладают следующими, уже упоминавшимися в
первом томе, свойствами:
• V(F) - замкнутая форма;
• V(F) - V(F') - точная форма, где F и F' - напряженности двух различных
связностей на главном расслоении Р -* X.
Можно, однако, сказать и больше. Любой калибровочно инвариантный полином
является суммой произведений калибровочно инвариантных полиномов V,"(F)
определенной степени т по напряженности F. Тогда имеет место следующая
формула трансгрессии [19, 36, 671:
'Pm(F) - Vm(F') = dQim-i {А, А1), (6.1)
I
Q2m^(A,A')=m J diP(A-A',Ft), (6.2)
о
где А и А' - две связности на главном расслоении Р -+ X и Ft -
