Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
фАф' = (-i)<MH<MI*Wly л ф,
и 6 является дифференцированием форм ф аналогично БРС'Г-оператору (4.79),
а не антидифференцированием, как БРСТ-оператор (4.77). В БРСТ-теории
равенство (6.35), будучи полученным из соотношений (6.36), называется
русской формулой [ 1111. Подставляя равенство (6.35) в тождество Бианки
(5.36), мы также получаем
6Fa = \Fa,c\. (6.37)
Как и в §6.1, пусть Vm обозначает калибровочно инвариантный полином
степени т от напряженности F. Мы имеем соответствующую локальную формулу
трансгрессии (6.4):
Vm(F)=dQjm-l(A,FA), (6.38)
вместе с равенствами
!
Q2m-x(A,F)=rn J dtP(A,Ft), (6.39)
О
Ft = tFA + (t2 -t)A2.
Формула (6.38) называется смещенной формулой трансгрессии.
С учетом русской формулы (6.35) можно приравнять формулы трансгрессии
(6.4) и смешенной трансгресеии (6.38). В результате получаем
dQim-\{А + с, Fa) = dQ2m-\(A, Fa) (6.40)
(сравните с формулой (6.18)). Разложим форму Чженя-Саймонса Q2m-\(A + с.,
FA) в ряд по локальной форме связности с как
+ С, Fa) = Qbn I (с, A, Fa) + Q'2m-2(c, A, FA)+... + Q,2)m~l(c), (6.41)
где верхние индексы обозначают (1,0)-степень и нижние индексы - (0, 1)-
стспень. Подстановка разложения (6.41) в уравнение (6.40) дает цепочку
уравнений спуска
Vm(FA)-dQln_ ,=0, (6.42а)
6Q\m-,+ <*<??/_;_,• =0, i = 0,..., 2т - 2, (6.426)
= 0- (6.42в)
Элементы С?2,л-|-, в этой цепочке уравнений интерпретируются как БРСТ-
аномалии. Мы сошлемся на книгу [36], где перечислены такие аномалии для i
= 0,..., 3. Следует при этом отметить, что аномалии высших степеней <?2m-
i-i, * ^ 4, не получили какой-либо определенной физической интерпретации.
Ясно видно, что уравнения спуска (6.42б)-(6.42в) аналогичны как
уравнениям спуска (4.85б)-(4.85в), записанным для произвольной локальной
формы в БРСТ-фор-мализме полей-антиполей, так и уравнениям спуска
(5.38б)-(5.38в) для формы Чженя Т>2(F) = с2(F) произвольной связности А.
В частности, нетрудно установить, что
124
Глава 6. Аномалии
БРСТ-аномалии QJm-i-i представляют собой локально БРСТ-замкнутые формы, и
поэтому можно рассмотреть их БРСТ-когомологии. В то же время уравнение
спуска (6.42а) отличается от уравнений спуска (4.85а) и (5.38а),
поскольку в силу соотношения (6.40) Q2m-i(A + с, Fa) не является d-
замкнутой формой. Отсюда следует, что локальные БРСТ-когомологии аномалий
??2m-i-i в общем случае нельзя связать с когомологиями полного БРСТ-
оператора d.
В заключение следует подчеркнуть, что рассмотренная выше локальная
формула трансгрессии (6.38) пригодна для тривиальных гладких расслоений Р
-* X. В случае нетривиального расслоения Р -* X можно применить формулу
трансгрессии (6.1) и положить 6А' = 0 [36, 111].
Глава 7
Связности в некоммутативной геометрии
По некоммутативной геометрии и ее физическим приложениям имеется обширная
литература (см., например, монографии [53, 106, 129]). В некоммутативной
геометрии коммутативные алгебры гладких функций заменяются на
ассоциативные алгебры, которые необязательно являются коммутативными.
Это, как правило, комплексные инво-лютивные алгебры. Эта глава посвящена
связностям в некоммутативной геометрии. Мы следуем алгебраическому
понятию связности из Главы I, обобщенному на модули над некоммутативными
кольцами [53, 63, 64]. Следует иметь в виду, что такое обобщение делает
разные определения алгебраических связностей неэквивалентными.
В то же время отметим, что в некоммутативной геометрии над квантовыми
группами [66, 128, 129] связности на квантовых главных расслоениях
определяются в терминах псевдотензорных форм, аналогичных формам
связности на гладких расслоениях и суперсвязностям [65]. Здесь мы эти
связности не рассматриваем.
§ 1. Некоммутативная алгебра
В этом параграфе собраны необходимые сведения о модулях над алгебрами,
которые необязательно предполагаются коммутативными.
Пусть /С - коммутативное кольцо (т. е. коммутативная Z -алгебра с
единицей) и А - К-алгебра с единицей, называемая также /С-колыюм.
Рассматривают правые и левые Д-модули и Д-бимодули (или А-А-бимодули в
терминологии [8]). Бимодуль Р над алгеброй Д именуется центральным, если
ра = ар, Ур?Р, VaeZ(A), (7.I)
где 2(A) - центр алгебры Д. Напомним, что центром Д-бимодуля Р называется
его /С-подмодуль Z(P) такой, что
ра = ар, У р ? Z(P), У а ? А.
Отметим, что, когда Д - коммутативная алгебра, любой правый (или левый)
модуль Р над Д можно всегда превратить в соответствующий центральный
бимодуль, положив
ра = ар, У р ? Р, У а ? А.
Поэтому в дальнейшем модуль над коммутативной алгеброй автоматически
рассматривается как центральный бимодуль (напомним, что в § l.l мы имели
дело с бимодулями над коммутативным кольцом, которые не являлись
центральными). Если Д - некоммутативная алгебра, всякий правый
(соответственно левый) Д-модуль Р является также 2(Д)-Д-бимодулем
(соответственно Д-^(Д)-бимодулем), так что выполняется равенство (7.1) и
Р - .2(Д)-бимодуль.
Удобно ввести следующую терминологию. Правые и левые Д-модули,
