Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
2?=^a(Z)'. (Б.1)
Оператор
V=J2 (r)tD1
14-г
называется главной частью линейного дифференциального оператора D (Б.1).
Пример Б.1. Линейный дифференциальный оператор первого порядка (Б.1)
имеет
вид
П
V = ^2(-i)aj (x)dj + Ь(х). (Б.2)
3=1
?
Линейный дифференциальный оператор V (Б.1) порядка г определяет
гомоморфизм
<г(Щх,р): А -"В
для всех
(я,р) = (х;р\, ¦ ¦ ¦,рп) е и х к"
142
Приложение Б. Теорема об индексе
(см. обозначения в третьем томе [13], Приложение Б) по формуле
o{V)(x,p) = ^а,(х)р\ ...р1'. (Б.З)
|f|=r
Определение Б. 1. Дифференциальный оператор V (Б.1) называется
эллиптическим, если для всех х ? U и всех ненулевых р ? Ж,, гомоморфизм
а(Т>)(х,р) обратим. ?
Гомоморфизм <j(D) называется символом дифференциального оператора V.
Легко убедиться, что символ <г(Т>) дифференциального оператора V является
образом Фурье
^/(*) = J р)fb (р)elpxdnp
его главной части.
Пример Б.2. Оператор Лапласа
Д: C*(M",R) -> Ci,0(Mn,M)
является эллиптическим оператором второго порядка. ?
Пусть теперь X - гладкое гс-мерное многообразие (без границы), Е и F -
гладкие комплексные векторные расслоения над X, а Г(?|) и T(F) -
векторные пространства их глобальных сечений. Пусть
V: Г(Е) -* Г(F) (Б.4)
- линейный дифференциальный оператор порядка г. В атласах Ф^ и ФЕ
расслоений Е и F над одним и тем же покрытием базы X он представляется
операторами (Б.1).
Обозначим ж: D(X) -* X и S(X) -> X гладкие расслоения на n-
мерныеединичные шары и (л - I)-мерные сферы над многообразием X,
ассоциированные с касательным расслоением ТХ. Рассмотрим индуцированное
векторное расслоение ж*Е над D(X). Определим символ дифференциального
оператора V (Б.4) как послойный морфизм
a(V): ж*Е -> ж*F,
представимый в виде
a(V): (y,VE) - (y,<T(D)(*(y),y)VE), (Б.5)
где у 6 D(X), VE - типичный слой векторного расслоения
Е, а морфизм <т(Х>)
(а; = ж(у)1 у) дается локальным выражением (Б.З). Можно убедиться, что
морфизм (Б.5)
глобально определен.
Если Е, F, G - комплексные векторные расслоения над многообразием X и
Vp. Г(.Е) -> Г(F), Т>2: Г(F) -" T(G)
- линейные дифференциальные операторы порядка г( и г2 соответственно,
тогда композиция Х>2°Р| является естественно дифференциальным оператором
порядка г\ +г2 с символом
сг(Х>2 о Х>|) = (?(V2) о <т(Т>|).
Определение Б.2. Дифференциальный оператор V (Б.4) называется
эллиптическим порядка г, если морфизм a{V)\s(x) - изоморфизм расслоений
ж*Е\э(х) и - °
Отсюда, в частности, следует, что если оператор V эллиптический, то
векторные расслоения Е и F имеют одинаковую размерность.
Предположим в дальнейшем, что многообразие X компактно, а векторные
расслоения Е -> X и F -> X наделены послойными эрмитовыми метриками (.,
.). Соответственно определены эрмитовы метрики
<.|.) =J(., .)dx
X
Теорема об индексе
143
на комплексных векторных пространствах сечений Г(Е) и Г(/<').
Дифференциальный оператор
D*: T(F) -> Т(Е)
называется сопряженным к дифференциальному оператору D (Б.4), если для
всех сечений s 6 Г(Е), s' 6 T(.F') выполняется равенство
(Ds|s') = (s|DV).
Послойные эрмитовы метрики на векторных расслоениях Е ->¦ X и F -> X
определяют послойные эрмитовы метрики на индуцированных векторных
расслоениях ir*E -> D(X) и 7t*F -> D(X). Следовательно определен морфизм
сг(Х>)*: тг * F -> тг *Е,
сопряженный символу сг(Т>).
Теорема Б.З. Если многообразие X компактно и векторные расслоения Е -* X
и F -> X наделены эрмитовыми метриками, тогда для всякого
дифференциального оператора D (Б.4) существует единственный сопряженный
оператор D*, и
<r(D)* = a(V).
Более того, если дифференциальный оператор D эллиптический, то
сопряженный ему оператор V* тоже эллиптический. ?
Напомним, что коядром Coker ф гомоморфизма ф: А -> В называется фактор-
пространство
Coker ф = В/ 1ш ф.
Ядро эллиптического дифференциального оператора V конечномерно и
dim KerD' = dim Coker D.
Определение Б.4. Индексом т(V) эллиптического оператора D называется
r(D) = dim KerD - dim CokerD = dim KerD - dim KerD*. (b.6)
?
Теорема об индексе Атьи-Зингера (см. ниже Теорему Б.7) устанавливает, что
индекс дифференциального оператора r(D) (Б.6) может быть выражен через
топологические инварианты.
Рассмотрим теперь конечный набор {Ek;Vk,V,k} векторных расслоений Ек над
компактным многообразием X дифференциальных операторов
D*: Г(Ек) Г(Ек+])
и сопряженных дифференциальных операторов
VI: Т(Ек+\) - Т(Ек).
Предположим, что
Vk+i 0 Dfc = О
для всех к. Нетрудно показать, что в этом случае
d;od;+, = o.
Тогда набор {r(Ek);Vk,V*} определяет комплекс
... - Г(Я*) -5-*Г(Я*+|) который мы будем для краткости обозначать (E,V).
144
Приложение Б. Теорема об индексе
Пусть (E,V) - такой комплекс. Определим операторы Лапласа
А* = VI о Vk + (c)*_, о Т(Ек) - Г(Ек).
Комплекс (E,V) называется эллиптическим, если все операторы Лапласа Ак
эллиптические.
Пример Б.З. Комплекс Де Рама внешних дифференциальных форм на римановом
тг-мерном многообразии X с операторами
Vk = d, V*k = 6 = (-l)nk+] *d*
