Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
модуле Р типа (i,j) существуют, они образуют аффинное пространство,
моделируемое над линейным пространством морфизмов ?(Л)-бимодулей
a: Der А Э и >-> <ти € Horn a,-Aj(P, Р)
из Der Л в ?(.4)-би модуль эндоморфизмов
<7"(а,ра;) = а;<7(р)а;, Vp € Р, V а* € Ак,
Л-модуля Р.
Пример 7.4.1. Если Р = А, морфизмы
V"(a) = w(a), Vu в Der A, Vа € А, (7.25)
задают каноническую связность на некоммутативной алгебре А согласно
Определению 7.4.1. Тогда из правила Лейбница (7.24) следует, что всякая
некоммутативная связность на центральном Л-бимодуле Р является также
связностью на Р, рассматриваемом как 2(A)-бимодуль. ?
Пример 7.4.2. Если Р - Л-бимодуль и алгебра Л допускает только внутренние
дифференцирования
ad b(a) = ba - ab,
морфизмы
v"4b(p) = ьР-Pb, чье a, VpeP, (7.26)
определяют каноническую связность на Р. ?
Кривизна R некоммутативной связности V (7.23) на Л-модуле Р определяется
как морфизм ?(Л)-модулей
R: Der Л х Der Л Э (и, и') -* Д","' Е Horn a,-Aj(P, Р)> (7-27)
Ru,u'(p) = ^u(^u'(р)) ~ ^и' (^и(р)) ~ VM(p), Р € Р,
(сравните с (1.63)) [63]. Справедливы соотношения
RoUio'u' = a&Ru,u'i в,, в, ё 2(A),
Ru,u'(&iPbj) = QtRu,u'(p)bj> € Л j, bj € Aj.
Например, кривизна некоммутативных связностей (7.25) и (7.26) обращается
в 0.
Приведем некоторые стандартные операции с некоммутативными связностями
(7.23).
(i) Для двух модулей Р и Р* одного и того же типа (i,j) и некоммутативных
связностей V и V' на них естественным образом определена некоммутативная
связность V 0 V' на Р(r) Р'.
(ii) Пусть Р - модуль типа (i, j) и Р* - Л-дуальный к нему модуль. Для
всякой некоммутативной связности V на Р существует единственная дуальная
некоммутативная связность V' на Р* такая, что
"((Р.?'" = <VB(p),p'> + <р, VV)>, реР, р' Е Р*, и 6 Der Л.
§5. Матричная геометрия
135
(iii) Пусть Р| и Р2 - Л-модули типов (г, к) и (k,j) соответственно, и
пусть V1 и V2 - некоммутативные связности на этих модулях. Для
произвольного дифференцирования и 6 Der Л рассмотрим эндоморфизм
(v'(r)V2)u = Vi0ldP,+ldP2(r)Vj (7.28)
тензорного произведения Pi (r) Р2 /С-модулей Р\ и Р2. Этот эндоморфизм
сохраняет подмножество Р\ (r)Р2, порождаемое элементами
Р\а(r)р2 - р\ (r)ар2,
где pi ? Pi, р2 ? Р2 и а € Аь- Благодаря этому факту, эндоморфизмы (7.28)
определяют некоммутативную связность на тензорном произведении Р| (r)Р2
модулей Р\ и ?2,
(iv) Как уже отмечалось, если А - ¦ -алгебра с единицей, мы имеем дело
только с модулями типа (1,1) и (0,0), т. е. ¦-модулями и Z(A)-бимодулями.
Пусть Р - модуль одного из этих типов. Если V - некоммутативная связность
на Р, существует сопряженная некоммутативная связность V* на Р,
задаваемая соотношением
Vl(p) = (Vu.(pt))\ (7.29)
Некоммутативная связность V на Р называется вещественной, если V = V*.
Пусть ¦-модуль Р наделен эрмитовой формой (.(.). Некоммутативная
связность V на Р называется эрмитовой, если
d(p\p') = (Vu(p)|p') + (p|V"(p')), Vu € Der Л, p,p € P.
Аналогично определяется эрмитова универсальная некоммутативная связность
на правом Л-модуле Р над *-алгеброй Л. Такая эрмитова некоммутативная
связность всегда существует, если Р - проективный модуль конечного ранга
[151].
Пусть теперь Р = П'[Л|. Всякая некоммутативная связность на Л-бимодуле
П'[Л| называется линейной [63, 120]. Следует подчеркнуть, что этот термин
не применяется для произвольной левой (правой) некоммутативной связности
наП^Л] [64]. Если О'М] - ¦ -модуль, линейная некоммутативная связность на
нем предполагается вещественной. Имея линейную некоммутативную связность
V на ?2* [Л], можно определить гомоморфизм Л-бимодулей
Т: Q'\A\ - П2|Л], (Тф)( и, и') = (#)(", и) - V"(0)( и') + V".(0)(
и), (7.30)
для всех и, и' 6 Der Л и ф € ?21 [Л]. Он называется кручением линейной
некоммутативной связности V.
§ 5. Матричная геометрия
Этот параграф посвящен линейным некоммутативным связностям в матричной
геометрии, когда Л = М" - алгебра комплексных (п х п)-матриц [62, 107,
108J.
Пусть {er}, 1 < г < пг - I, - антиэрмитов базис алгебры Ли аи(п).
Элементы е, порождают алгебру М", тогда как ur = ader образуют базис
правой алгебры Ли DerM" дифференцирований алгебры М" вместе с
коммутационными соотношениями
[ur,u?| = с>"
где <4Я - структурные константы алгебры Ли ви(п). Поскольку центр Z(Mn)
алгебры М" состоит из матриц Л1, алгебра дифференцирований DerAfn
является комплексным свободным модулем ранга п2 - 1.
Рассмотрим универсальное дифференциальное исчисление (fi*[Af"], d) над
алгеброй Мп, где d - оператор кограницы Шевалле-Эленберга (7.11).
Существует
136
Г лава 7. Связности в некоммутативной геометрии
удобная система базисных элементов {0Г} модуля fi'lM,,], рассматриваемого
как левый М"-модуль. Они даются соотношениями
<?>,) = <5,г1.
Следовательно Q11Мп| является свободным левым М"-модулем ранга п2 - I.
Нетрудно заметить, что элементы 6Т принадлежат центру М"-бимодуля
П'[.М"|, т.е.
авг=вга, V а € Мп. (7.31)
Также получаем, что
вт /\вч = -вяЛвг. (7.32)
