Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
центральные Д-бимодули и Z(Д)-модули будем называть Д-модулямитипа (1,0),
(0,1), (1,1) и (0,0)
126
Глава 7. Связности в некоммутативной геометрии
соответственно, где А" - 2(A) и А\ - А. Используя эту терминологию,
напомним некоторые основные операции с модулям.
• Если Р и Р' - 4-модули одного н того же типа (i, j), тогда их прямая
сумма РфР1 тоже А-модуль того же типа.
• Пусть Р и Р' - 4-модули типа (г, к) и (k,j) соответственно. Их
тензорное произведение Р (r) Р' (ем. (8|) определяет 4-модуль типа (г, j).
• Для данного 4-модуля Р типа (i,j) обозначим
Р* = \\omA^Ai(P,A)
- дуальный модуль. Можно показать, что Р* является модулем типа (г + 1, j
+ l)mod2 |63|. В частности, Р и Р** - 4-модули одного и того же типа.
Существует естественный гомоморфизм Р -> Р**. Например, если Р -
проективный модуль конечного ранга, таковым же является дуальный модуль
Р* и Р -* Р** - изоморфизм |8].
Можно встретить несколько эквивалентных определений проективного модуля.
Говорят, что правый (соответственно левый) модуль Р является проективным,
если Р представляет собой прямое слагаемое правого (соответственно
левого) свободного модуля, т. с. существует модуль Q такой, что РФQ -
свободный модуль [8|. Соответственно модуль Р является проективным тогда
и только тогда, когда
Р = р5,
где S - свободный модуль и р - проектор, т. е. эндоморфизм S такой, что
р2 = р. Мы уже упоминали проективные Сх (20-модули конечного ранга в
связи с теоремой Серре-Свана (ем. ниже Теорему 7.1.1). Напомним, что
модуль называется модулем конечного ранга или просто конечным, если он
является фактором конечно порожденного свободного модуля.
Как уже отмечалось, некоммутативная геометрия, как правило, имеет дело с
комплексными инволютивными алгебрами (т. е. ^-алгебрами) с единицей.
Пусть А - такая алгебра (см. третий том |13|). Следует подчеркнуть, что в
этом случае мы не можем рассматривать отдельно правые и левые 4-модули, а
только модули типа (1, 1) и (0,0), поскольку операция инволюции
переставляет сомножители в произведениях в А. Центральный 4-бимодуль Р
над 4 называется *-модулем над *-алгеброй 4, если он наделен антилинсйной
инволюцией р >-* р* такой, что
(арЬУ~Ь*р*а, Vrt, b ? А, р G Р.
Говорят, что *-модуль является конечным проективным модулем, если он
представляет собой конечный проективный правый или левый модуль.
Некоммутативная геометрия строится главным образом как обобщение
дифференциального исчисления в коммутативных кольцах гладких функций.
Пусть X - локально компактное топологическое пространство и 4 - ¦-алгебра
Cj|(2T) непрерывных комплексных функций на X, стремящихся к нулю на
бесконечности в X. Наделенная нормой
ll/ll = sup |/|, /6 4,
х?Х
эта алгебра становится С*-алгеброй (см. третий том 113], § 2.7). Ее
спектр 4 гомеомор-фен топологическому пространству X. Обратно, всякая
коммутативная С*-алгебра 4 имеет локально компактный спектр 4 и в
соответствии с известной теоремой Гель-фанда-Наймарка (см. Теорему 2.7.2
в третьем томе [13]) изоморфна алгебре С"(4) непрерывных комплексных
функций на 4, стремящихся к нулю На бесконечности в 4. Если 4 -
коммутативная С*-алгебра с единицей, ее спектр 4 компактен. Пусть теперь
§ I. Некоммутативная алгебра
127
X - компактное гладкое многообразие. Тогда *-алгебра С' (X) гладких
комплексных функций на X является плотной подалгеброй С'-алгебры с
единицей <L?'(X) непрерывных комплексных функций на X. Это не С*-алгебра,
но она является алгеброй Фреше н естественной локально выпуклой топологии
компактной сходимости по всем производным (см. третий том 1131, Пример
1.1.7). В некоммутативной геометрии алгебры с локально выпуклой
топологией не используются (см. 1117]), а в чисто алгебраическом аспекте
рассматриваются плотные подалгебры с единицей С'*-алгебр.
Алгебра С^(Х) гладких вещественных функций на гладком многообразии X
является вещественной подалгеброй алгебры Сх(Х), которая состоит из всех
эрмитовых элементов Сх(Х). Она характеризует многообразие X н
соответствии с Замечанием 1.1.8 (см. также [151]). В некоммутативной
геометрии алгебра вещественных функций заменяется йорданоной алгеброй
эрмитовых элементов *-алгебры А с единицей!.
Обратимся теперь к ^-модулям. Пусть Е -> X - гладкое га-мерное
комплексное векторное расслоение над компактным многообразием X.
Структурный модуль Е(Х) его глобальных сечений является ^-модулем над
кольцом Сх (X) гладких комплексных функций на X. Это проективный модуль
конечного ранга. Действительно, пусть (ф\,... ,фч) - гладкое разбиение
единицы на многообразии X такое, что расслоению Е тривиально над
множествами L6 D supp , и имеет функции перехода р^. Тогда
Р(( = Ф(РаФ(
-- гладкие (т х т)-матрично-значные функции на X. Они удовлетворяют
соотношениям
р<*р< = р<( (7-2)
к
и, таким образом, группируются в (mq х т^)-матрицу р, компоненты которой
являются гладкими комплексными функциями на X. При этом из соотношений
(7.2) следует, что
Р2 = Р
Тогда всякое сечение s векторного расслоения Е -> X представимо в виде
