Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
многообразии X (которое, напомним, предполагается паракомпактным), выбрав
его открытое покрытие и соответствующее разбиение единицы. Известна
следующая теорема вложения Соболева [122].
Теорема 5.1.2. Пусть X = К", или пусть многообразие X компактно. Тогда
Нк,р(Х) С С'(Х), если к - п/р > 1, где С'(Х) - пространство 1-кратно
непрерывно дифференцируемых функций на X. В частности, 7ik С Сп(Х), если
к > п/2. ?
Понятие пространства Соболева может быть также распространено на сечения
векторного расслоения У -* X, имеющие компактный носитель. В дальнейшем
мы ограничимся рассмотрением векторных расслоений У -* X над компактным
ориентируемым n-мерным римановым многообразием X. Это случай большинства
представляющих физический интерес евклидовых калибровочных теорий. Пусть
У(Х) - структурный модуль глобальных сечений s такого векторного
расслоения. Рассмотрим его пополнение У(Х)к, называемое пополнением
Соболева, для неотрицательного к относительно нормы
где Ф = {Utfipt} - атлас расслоения У -" X над конечным открытым
покрытием {?/,} базы X и |.|, - норма относительно некоторой послойной
метрики q в У. Различный выбор атласа Ф и римановой метрики на X дает
одно и то же пополнение Соболева. Отметим также, что частные производные
в выражении (5.4) могут быть заменены на ковариантные производные
относительно некоторой связности на У.
Пусть теперь Р -* X - главное расслоение, структурная группа которого G
является компактной полупростой матричной группой Ли. Начнем с пополнения
Соболева калибровочной группы Q вертикальных автоморфизмов главного
расслоения Р -" X. Элементами этой группы являются матричные функции д,
которые действует на пространство калибровочных полей А по известному
закону
д эд: A>->g~'Ag + g~'dg.
Выделяют нормальную подгруппу калибровочной группы, которая является
стабилизатором
д° = {Фед: ф(ю) = 1}
в некоторой фиксированной точке zu € X. Она называется отмеченной
калибровочной группой. Эта группа действует свободно на пространстве
калибровочных полей А. Отметим, что 0/6° = G.
Вводят также эффективную калибровочную группу Q = Q/Z, где Z - центр
калибровочной группы д. Центр Z изоморфен центру Z(G) группы G.
§ 1. Пространство калибровочных полей
105
Определение 5.1.3. Связность А на главном расслоении Р -" X называется
неприводимойесли ее стабилизатор QA (т.е. Ф(А) = А, УФ € вА) принадлежит
центру калибровочной группы Z, и это является общим случаем связностей на
главном расслоении. ?
Обозначим А пространство неприводимых связностей (калибровочных полей).
Эффективная калибровочная группа Q действует свободно на А.
Замечание 5.1.1. Приведем некоторые добавочные сведения к тому, что было
изложено в первом томе о связностях на главных расслоениях. Они
потребуются нам в дальнейшем.
Пусть Р -> X - главное расслоение со структурной
группой G. Связность А
на главном расслоении Р -" X представляется ТсР-значной формой
A = dxx(r) (Ох + А\еч) (5.5)
(см. формулу (1.86) в первом томе [11]). Напомним, что
TGP = TP/G.
Связность А (5.5) порождает ассоциированную линейную связность на
расслоении алгебр Ли VGP -" X. Соответствующий ковариантный дифференциал
сечения ? = ?рер этого расслоения имеет вид
VAt: X -> Т*Х ф VGP,
VAt = (Ох?+ сгрчА№)<1хх(r)ег. (5.6)
Если и - векторное поле на X, ковариантная производная сечения ? вдоль и
дается выражением
= u j = [г* j А,?].
В частности,
Vfeq = crpqAPer. (5.7)
Ковариантная производная V" согласуется со скобками Ли сечений расслоения
VGP - X, т.е.
vilS,n) = [vU,n\ + [(,vtn\
для любого векторного поля и на X и любых сечений
VGP.
Пусть Р -> X - главное расслоение со структурной группой G. Тогда (Р-1М)-
скобки (см. первый том [11], § 1.4) на пространстве тангенциально-значных
форм П*(Р) (r)Т(Р) на главном расслоении Р согласованы с каноническим
действием группы G на Р, и мы получаем индуцированные (F-N)-cko6kh на
пространстве Тс-Р-значных форм П*(Х) (r) TGP(X) на X, где, следуя принятым
обозначениям, TGP(X) - векторное пространство глобальных сечений
векторного расслоения TGP -" X. Напомним, что TGP(X) естественным образом
проектируется на пространство Т(Х) векторных полей на базе X.
Если А € Sl'(X)(r)TGP(X) - связность (5.5) на главном расслоении Р,
соответствующий (F-N)-дифференциал (см. формулу (1.39) в первом томе
[11|) имеет вид
dA\ Пг(^Г) (r) TGP(X) -* nr+l(JT) (r) VGP(X),
дАф = [A, 0]FN, ф€Пг(Х)(r)ТсР(Х). (5.8)
На пространстве VGP(X) дифференциал dA совпадает с ковариантным
дифференциалом VA (5.6), т.е.
dA( = V^.
106
Глава 5. Топологические теории поля
Имеет место локальное выражение
V^ = ^ + M^|, (5.9)
где
А - A\dxx (r) eq (5.10)
- локальная форма связности. Если
ф = а(r)(, € ГУ(*) (r) FCP(*), где а е $Г(^) и ? € VGP{X), получаем формулу
dA<fi = da(r){ + (-l)'aA VA(. (5.11)
Используя (Р-М)-дифференциал (5.8), напряженность Fa связности А можно
задать в виде
Fa = \dAA = '-\А, Al,:N = dA+ Х-\А, >1] € П2(*) (r) VGP(X). (5.12)
Пусть dA - (F:-N)-дифферснниал (5.11) и * - оператор Ходжа относительно
