Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
гомологического класса &-цикла 7, поскольку
wk(d\) = J dwk = -6 j wkri = 0.
Л A
Пусть теперь дано семейство (71,... , уг) А;,--циклов в пространстве
неприводимых связностей А, и пусть М - компактное подмногообразие А
размерности
Г
т = _ *=')•
<1
Тогда получаем инвариант
Z\ Hkl (X; Ъ) х ... х Нк, (X; Z) -> К,
Z(l\, ¦ • •, 7г) = У Щ, (7i) Л ... Л wkr(-fT). м
Проблема заключается в том, что не существует конечномерного компактного
подмногообразия М С А, представлявшего бы физический интерес. Поэтому
вернемся к пространству орбит О.
Поскольку связности (5.15) и (5.20) являются связностями на главных
расслоениях, а группы G и Q, действующие на Рх А, взаимно коммутируют,
касательный морфизм
Т(Р х А) -> TQ
к проекции (5.16) порождает расщепление касательного расслоения TQ,
которое определяет связность А на универсальном расслоении Q -> X х О
(5.17). Эта связность характеризуется следующим свойством. Пусть
s\ ODU -> А
- локальная калибровка. Тогда ограничение i*uQ расслоения Q на U
изоморфно индуцированному расслоению (Id X, s)*(P х А), а связность А
локально совпадает с индуцированной связностью (Id X, s)'A.
Естественной калибровкой является задание фонового калибровочного поли Ап
и условия
dAl) * (А - Л0) = 0. (5.40)
Будем называть ее фоновой калибровкой. Эта калибровка вместе с условием
dA*f = 0 (5.41)
проектирует топологическую теорию поля с многообразия неприводимых
связностей А на пространство орбит О. Внешний дифференциал 6 уравнения
(5.40) приводит к уравнению
*(i>-dAc) = 0, решением которого является связность
с= (*dAo*dA)~]dAoif/.
Внешний дифференциал 0 уравнения (5.41) дает уравнение
Ы>, *^1 + dA * dA4> = 0,
112
Глава 5. Топологические теории поля
которое предполагает, что
Ф= -Ga[i/>, *ф\.
Это выражение выглядит как напряженность связности Атьи-Зингера на
универсальном расслоении (5.17) [26].
В топологической теории поля также вводится условие
Д(Л) = 0, (5.42)
где Д - некоторый калибровочно инвариантный дифференциальный оператор на
А. Это условие выделяет фазовое подпространство М. С О пространства орбит
О. Пусть X - 4-мерное компактное многообразие. Приведем некоторые
стандартные варианты выбора дифференциального оператора Д:
А(А) = Pf = Ufa - *Fa), (5.43)
ДМ)=^, (5.44)
А(А) = dA *Fa. (5.45)
Соответствующие фазовые пространства - это фазовые пространства
инстантонов, плоских связностей и решений уравнений Янга-Миллса.
§ 3. Инварианты Доналдсона
В этом параграфе X - это 4-мерное компактное ориентируемое гладкое, или
топологическое, многообразие а Р -> X - главное расслоение со структурной
группой SU( 2).
Замечание 5.3.1. Инварианты Доналдсона являются дифференциальными, а не
топологическими инвариантами многообразия X [60]. Поэтому имеет смысл
напомнить известные особенности 4-мерных многообразий [61, 72].
• Всякое топологическое многообразие размерности меньше четырех допускает
единственную гладкую структуру.
• Для многообразий размерности больше четырех гомотопический тип и классы
Понтрягина определяют гладкую структуру (если она существует) с точностью
до конечного числа этих структур.
• Существуют гладкие 4-мерные многообразия со счетным семейством
неэквивалентных гладких структур.
• Существует несчетное множество неэквивалентных гладких структур на К4,
тогда как К"544 имеет единственную гладкую структуру.
• Существуют рациональные когомологические инварианты (примером которых
служат приводимые ниже инварианты Доналдсона), которые различают
неэквивалентные гладкие структуры, в отличие, например, от рациональных
классов Понтрягина, которые представляют собой гомотопические инварианты.
Не существует алгоритма классификации гладких структур на 4-мерном
топологическом многообразии из-за фундаментальной группы Х|(Х) [70].
Поэтому основное внимание обычно уделяют односвязным многообразиям, для
которых Х|(ЛГ) = 0. Фундаментальным инвариантом односвязного 4-мерного
топологического многообразия является форма пересечения шх. Это
симметричная билинейная форма на группе когомологий Н2(Х; Z),
определяемая как
шх: Н2(Х; Z) х Н2(Х; Ъ) -> Z, их'- (["], [Ь]) * ([а| ^ [6])[2f],
(5.46)
§ 3. Инварианты Доналдсона
113
где [а| [Ь\ - это так называемое '-'-произведение, а ([а] [Ь])[А-]
- это его
значение на фундаментальном цикле в ориентируемом многообразии X,
являющемся порождающим элементом группы сингулярных гомологий
H4(X;Z) = Z.
Если X - гладкое многообразие, '-'-произведение - это обычное внешнее
произведение форм, а форма пересечения (5.46) имеет вид
wx(M, [ftD = J aAb-
x
Форма пересечения (5.46) невырождена и унимодулярна. Она характеризуется
рангом dim Н2(Х; Z), который совпадает со вторым числом Бетти Ь2(Х)
многообразия X, и индексом
т(шх) = Ь2 - Ь2,
который равен разности числа положительных и числа отрицательных
собственных значений формы шх ¦ Он называется индексом многообразия [ 14
. Форма пересечения и>х называется четной, если все ее диагональные
элементы wy([a], fa]) четные. Если X - гладкое многообразие, известная
